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2003年7月22日
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弦论通俗演义（三十四）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第十章 第二次革命：D膜
第三节 非阿贝尔对称性
膜物理学带来最有意思的物理是当有若干个膜同时存在的时候，特别是若干个平行的维度相等的D膜。威顿在95年十月份泡耳钦斯基的文章出现在网络的两周后，写出了一篇研究多D膜和D膜束缚态的文章。这篇文章第一次指出当多D膜存在时，会出现非阿贝尔对称性。前面已经看到，当两个D膜同时存在时，除了两个端点都搭在同一个D膜上的开弦，还有两个端点搭在不同D膜上的开弦。前者组成两个D膜上的低能激发态，包括每个D膜上的无质量规范场和标量场。在超弦理论中，它们形成两个阿贝尔矢量超多重态。现在的问题是，两个搭在在不同D膜上的开弦是什么样的激发态？
其实，这个问题在弦论的早期就有了回答。现在我们用1来标志搭在第一个D膜上的端点，用2来标志搭在第二个D膜上的端点。如果开弦是可定向的（在型II弦论中必须是可定向的，原因是两个开弦可以合并成一个闭弦离开D膜，从而是型II理论中的一个闭弦，必须是可定向的），用1、2来标志端点还简单了一点，因为定向性本身要求在一个D膜上有两种不同的端点，一种对应于弦的一个定向，其实相对于该D膜上的矢量场来说，就是正电荷和负电荷，后面这个观点可以通过研究开弦世界上的作用量看出：开弦的端点与规范场只有两个不同的耦合。这样，端点搭在不同D膜上的开弦有两种，对应于两个不同的定向。其中一种在第一个D膜的规范场下带正电，在第二个D膜的规范场下带负电，另外一种端点的带电正好反过来。
如果我们将两个D膜上的规范场看成是U(2)的两个U(1)子群，上述的两种新开弦正好可以补足整个U(2)伴随多重态，与过去的开弦加起来一共有四种开弦，是U(2)的维数。过去的所谓陈－巴顿因子恰好就是我们上一段所描述的1和2以及它们的负电荷。开弦的么正相互作用要求所有的陈－巴顿因子形成一个群，在这里就是U(2)群。
当两个D膜完全重合时，两个端点搭在不同D膜上的开弦包含零质量态，有矢量场和标量场。在纯玻色弦论中，这些场与过去的零质量场形成U(2)规范理论中的矢量场和伴随表示的标量场。在超弦理论中，我们得到U(2)的矢量超多重态，由于超对称相当于四维中的N等于4超对称，矢量超多重态正好含有六个伴随表示的标量场，以及四个手征费米场。总结一下，对于U(2)的一个生成元，有八个玻色场，八个费米场。
非阿贝尔对称性的出现是一个相当反直觉的结果，在单个D膜时，阿贝尔对称性的起源是几何的，规范场相当于D膜在纵向方向的振动，而标量场直接对应于D膜在横向空间中的位置。当两个平行D膜存在时,U(2)中的对角元还有两个D膜的几何意义，但非对角元没有直接的几何解释。当两个D膜分开时，这些非对角元直接对应着搭在两个D膜上的开弦，且有质量。当两个D膜完全重合时，由于非阿贝尔对称性，非对角元已经和对角元之一（两个对角元的差）完全混合，所以不一定解释成搭在两个D膜上的开弦。我们可以说，这个时候两个D膜中的一个位置，就是位置的差，已经非阿贝尔化，不再有明确的时空解释。只有两个对角元之和，也就是两个D膜的重心位置，才有几何意义。这个和不与非对角元混合。
当存在多个平行的D膜时，对称性扩大为U(N)，其中N是D膜的个数。D膜上低能物理完全由U(N)规范理论所决定。所以，知道多个D膜的性质可以推出非阿贝尔规范场论的性质，反之亦然。
D膜的物理还直接告诉我们弦论中小距离的物理。例如，当两个D膜靠近时，按照我们通常的理解，量子引力的效应会变得越来越重要，特别当两个D膜的距离小于普朗克长度时。可是当两个D膜的距离很小时，D膜上的物理完全由零质量的开弦激发态决定，在极大超对称的情况下，规范理论并没有特别不同的效应，从而显示出小距离上的量子引力效应。这里，红外/紫外对应又一次出现，在闭弦理论中，小距离上的物理是紫外物理，而在开弦理论中，低能规范理论中的物理是红外物理。
到此为止，似乎一个D膜对应于弦论中的一个态，这个印象当然是错的。如果弦本身一样，每个D膜应有一个超多重态。型II弦论中弦的基态超多重态一共有256个，一半是玻色态，一半是费米态。同样，型II中的D膜也有256个态，一半玻色一半费米。这个结论可以通过研究超对称得到。我们知道，D膜破坏一半的超对称，保持另外一半。也就是说，如果我们用一半超对称生成元作用在D膜的量子态上，我们得到零，对应于没有破缺的超对称。用破缺的超对称作用在D膜态上，得到一个新态。如果有n个破缺的超对称，我们获得2的n/2次方个新态，通过反复作用，这当然是极小可能，所以叫短超多重态。在型II理论中，共有16个破缺的超对称，所以有256个D膜基态。
型I弦论中的D膜上的规范理论不同于型II弦论中的D膜。型I理论中本来就有不可定向的开弦，弦的端点在整个十维时空中自由运动，所以型I理论中可以看作有D9膜，这些膜的世界体充满整个十维时空。那么有多少这样的D9膜呢？回答可以通过两种方法得到。一种方法是计算场的单点函数，这相当于决定规范群的阶。我们早以介绍过，型I的规范群是正交群，为了消除规范反常，这个规范群必须是SO(32)。D9膜可以形式上看成带有十阶反对称张量场的荷，所以会产生充满时空的反对称张量场。当规范群的阶恰好是16时，反对称张量场的源抵消，所以应当有16个D9膜。比弦中的单点函数与规范反常有关，后者是开弦中的量子效应，这是开弦/闭弦的量子/经典对应的又一个例子。
上面的这个方法并不很直观，第二办法相当直观。我们知道D9膜有张力，这个张力就是十维时空中的能量密度，如果没有其它能量密度来完全抵消D9膜的贡献，就会有宇宙学常数，从而使得真空解不再是平坦的。所以，我们推测，应该存在另一种物体，其张力是负的，这种物体叫做不可定向面(orientifold plane)。在十维型I弦中，恰好有一个九维的不可定向面。这个不可定向面的存在，解释了为什么开弦在型I理论中是不可定向的，例如，一个端点搭在同一个D9膜上的开弦可以看成两个端点搭在自身和该D膜在不可定向面中的镜像，所以开弦不能带有箭头。
如果存在N个D9膜，在不可定向面的反映下，有N个镜像，所以有2N个D9膜。从N个D9膜中的一个膜出发的开弦，可以终止在除了它自身的膜和所有镜像上面，共有2N-1种可能，这样共有N(2N-1)种不同的开弦，正好是规范群SO(2N)的维数。如何计算不可定向面的张力？过去我们解释了开弦的单圈图计算可以给出D膜的张力，这个单圈图是柱面。对于不可定开弦来说，还有两个单圈图，就是莫比乌斯带和克莱茵瓶，前者的对角元可以解释为开弦一段搭在一个D9膜上，另一端搭在不可定向面上（如果没有不可定向面，就很难解释这个图），后者的对角元可以解释为开弦的两个端点同时搭在不可定向面上。注意这些开弦没有在壳态。这些贡献与不可定向面的张力以及雷芒荷有关，这样计算下来的张力是D9膜张力的16倍，而且是负的，所以必须有16个D9膜来抵消张力。
型I理论中除了D9膜外，还可以有D1膜和D5膜。研究这些膜比研究型II理论中的膜要复杂些，主要原因是D9膜已经存在。以D1膜为例，不但有D1膜上的开弦，还有一个端点搭在D1膜上，另一个端点搭在D9膜上的开弦。由于有16个D9膜和它们的镜像，这些开弦会产生许多新的态。基态通过格舍奥投射后剩下费米场，共有32个费米场，正好是杂化弦中的左手费米场的个数。D1膜上的开弦给出8个无质量标量场和8个右手费米场，没有矢量场。总之，D1膜和杂化弦的世界面理论完全一样，再次说明杂化弦在型I理论中是孤子。
型I理论中的D5膜理论较为复杂，我们下一节讨论。
《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2003年第1期
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