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弦论通俗演义（三十一）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第九章 第二次革命：弦论中的对偶
（第四节）
我们已经提到十维中有SO(32)规发群的杂化弦与型I弦的对偶，但想把具体的介绍放在D－膜的后面。十维中最后的一个对偶是规范群为E(8)XE(8)的杂化弦的强耦合极限与11维理论的对偶。这个对偶也相当出人意表，所以到了95年的十月份才被威顿和哈加瓦提出来。
11维理论不是别的，正是型IIA弦的强耦合极限。这个理论还没有很好的微观定义－当然有一个矩阵模型，低能极限是11维超引力。当然，杂化弦的强耦合极限不是简单的11维理论紧化在一个圆上，因为十维的杂化弦只有N等于1的十维超对称。如果我们顺着IIA弦强耦合的思路，那么我们需要将11维理论紧化在一个一维的空间上同时破坏一半的超对称，因为11维理论直接下降到十维产生十维的N等于2超对称。
一维空间的分类很简单，只有四种。如果我们要求紧化后的十维理论的确象一个十维理论，那么这个一维空间必须是紧致的。只有两种一维紧致空间，圆或者有两个端点的线段，后者可以通过圆的迹形得到：在圆上取两个对极点，然后以它们为基点将圆对折。这个线段是一个迹形，因为对折可以看作是群Z(2)的作用，而两个端点是这个群作用的不动点。
在Z(2)的作用下，第十一维反演，11维理论不变，只要11维理论中的三阶反对称张量场同时做反演。理论不变是弦论中构造迹形模型的必要条件，如同我们由一个对称图形出发通过对称性构造更小的图形。11维理论中的费米场在反演下也要做变换，这个变换是量子场论中熟悉的，就是将费米场乘以一个第十一维的伽马矩阵。由于迹形中的态必须在反演不变的，所以费米场只剩下一半，就是那些在第十一维伽马矩阵作用下不变的场。从十维的角度来看，这些场的手征是正的。同样，遗留下来的超对称在十维中的手征也是正的，所以只剩下十维N等于1的超对称。
我们必须说明，哈加瓦-威顿的迹形构造是假定了11维理论的确可以做迹形构造，这个假定是自然的，因为11维理论的特殊情形是型II弦论，弦论可以做迹形构造，那么11维理论也可能可以直接在11维中做迹形构造。这么一来，我们在十维中又获得了一个N等于1的理论，这个理论如果不是新理论，就应当是已知的弦论，也只有一个可能，就是规范群是E(8)XE(8)杂化弦，因为只有这个理论的强耦合极限还不知道。
接着他们从三个角度来论证这个迹形构造的确是杂化弦，我们一一介绍那三个论证。
首先要说明，由于11维理论还没有太好的微观的表述，所有三个论证几乎都是比较直观的以及与对称有关的。第一个论证是引力反常，就是引力微子的量子涨落带来的对引力协变性的破坏。在11维中，没有引力反常，但在十维中有。11维理论的迹形构造的结果还是11维理论，只是在线段的端点我们有十维的理论，就是说如果有引力反常，反常也是集中在两个十维的边界上。这两个边界就象磁畴壁(domain wall)，而反常很像过去人们讨论过的反常流：磁畴壁是这个流的源。这样，在广义坐标变换下，量子有效作用量的变化含有两个部份，一部份集中在一个壁上，另一部份集中在另一个壁上。由于反常是局域性质的，作用量的变化也是场的局域函数。
如果只有引力本身，反常的形式是固定的，因为引力微子与引力的耦合是固定的，所以我们不需要了解11维理论的微观形式也能决定反常的形式。在边界上，我们有十维N等于1的超引力，如果没有其它场，引力反常不可能被消除－但是我们已经假定11维理论是可以通过迹形构造获得自洽的理论的，所以必须有其它场介入，才能消除反常。
能引入的场只能是十维的N等于1的矢量超多重态，因为11维中只存在引力超多重态。这样，新的场只能定义在边界上，边界看起来就像我们已经知道的膜。要在每个边界上抵消引力微子带来的反常，就必须给引入248个矢量超多重态，这就是E（8）群的维数，两个边界有两个E(8)群，理论应该和E(8)XE(8)的杂化弦一样。
一旦引入规范场，引力反常就会既是引力场的函数，也是规范场的函数。由于反常是局域的，不应该有两个边界上规范场的混合项，这样反常的形式也可以确定下来了，而没有被抵消的反常可以通过格林－史瓦兹机制抵消，就是对三阶反对称张量场引入新的变换，这个变换也只是集中在边界上，而且，11维理论中的确存在三阶反对称张量场与引力的一种耦合可以用来抵消剩余的反常。（格林－史瓦兹反常抵消机制已在谈第一次超弦革命中介绍过，见第五章第一节）
第二个论证类似强耦合IIA弦与11维理论关系的论证，就是看杂化弦在强耦合时的低能有效作用量和11维作用量的关系。与IIA弦的情况一样，可以确定弦的耦合常数与第11维尺度的关系，当耦合常数很大时，第11维即线段的长度也很大，两者的关系与IIA弦的耦合常数与第11维圆的半径的关系完全一样。所以，当线段的长度小于11维理论的普朗克长度时，11维的半经典引力描述已经失效，人们也许以为有很强的量子引力效应，其实不然，代11维引力的理论是弱耦合的杂化弦论。
第三个论证也和IIA弦一样，就是弦本身的11维起源。在IIA理论中，弦不是别的，就是11维理论中的膜，膜的一条腿饶在第11维圆上，所以弦的张力就是膜的张力乘以圆的周长。这个论证还不够严格，如果要严格，就要将11维理论紧化在一个两维环面上，膜的两根腿各饶环面的两个圆一次，我们获得一个BPS态，这个BPS态在弦论中就是弦在第二圆上的绕数模。11维膜上的世界体作用量早就在八十年代末被研究过，不久它的所谓双约化也被研究过：不但11维时空约化在一个圆上，而且膜也约化在一个圆上。这样所得到的零膜作用量正好是IIA弦的世界面作用量。同样的道理，我们可以将11维理论紧化在两维环面上，然后对其中的一个圆（第11维）作迹形构造。饶在环面上的膜也作迹形构造，这样这个膜也就有了两个边界，每个边界都是一个圆（弦），直接约化下来的世界面含有杂化弦世界面上的一部份变量。但这部份变量含有两维中的共形反常，所以我们也要引入新的场来抵消反常。类似前面时空中的反常，反常集中在膜的边界上，可以通过在每个边界上各引入16个费米子来抵消。这些费米子加上原来的变量正好组成杂化弦世界面上的变量。
我们不通过在环面上的紧化也能获得杂化弦，当然就是一个有两个边界的膜，一个边界搭在时空的一个边界上，另一个边界搭在时空的另一个边界上。从而我们也知道了时空边界上矢量多重态的起源：它们就是这些有边界膜的特别激发态：膜边界上的费米子被激发了。
哈加瓦－威顿构造可以用来理解规范群为SO(32)的杂化弦与型I弦的强弱对偶，这很类似用11维理论来理解IIB弦的强弱对偶。将11维理论紧化在一个两维环面上，我们获得一个紧化在圆上的IIA理论，但IIA理论与IIB理论是T对偶的，所以这个理论又可以描述IIB理论。但IIB中的紧化圆不同于11维理论中环面上的任一个圆，因为它的起源是11维理论中的绕数模，11维理论中的环面越小，这些绕数模就越轻，从而有一个新的维度产生，在这个新维度中，环面上的绕数模被解释为动量模。所以当环面缩小到无限小时，IIB理论中的圆变成无限大，我们回到十维IIB理论。IIB理论中的耦合常数是11维理论中环面的两个半径之比，这样强弱对偶就是将环面上的两个圆交换。我们必须强调，无限缩小的两维环面产生一个无限增大的圆！
现在，我们研究E(8)XE(8)紧化在圆上的情形，这是11维理论紧化在环面迹形上。从杂化弦的角度来看，它T对偶于SO(32)杂化弦。当环面迹形无限缩小时，SO(32)杂化弦中的圆的半径无限增大。那么，与SO(32)杂化弦有着强弱对偶的型I弦是怎么来的呢？我们交换一下环面迹形中的线段和圆，这样我们获得紧化在圆上然后再紧化在线段上的11维理论。通过第一次紧化，我们获得IIA理论，第二次次紧化相当于在IIA理论中作迹形构造，我们会获得开弦（以后再详细介绍这种所谓的定向迹形构造），这个开弦不是别的，正是原来模在环面迹形上的绕数模，这个绕数模在E(8)XE(8)杂化弦中也是绕数模，应当对偶于SO(32)杂化弦中的动量模，所以，我们获得SO(32)开弦中的动量模，可见IIA迹形构造出来的开弦不是与SO(32)杂化弦对偶的开弦，应当是它的T对偶。
我们后面再谈与杂化弦对偶的开弦其实是IIB弦的定向迹形构造。
《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2003年第1期
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