 《三思科学》电子杂志
2002年第12期·2003年第1期
合刊 总第18期
2003年1月17日
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治疗和预防艾滋病：未来展望
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(二十八)、(二十九)、(三十)
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[M.Shermer]柯克船长原则
[E.C.Scott]不仅仅是在堪萨斯
[L.M.Krauss]在与伪科学的辩论
中科学处境不利
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弦论通俗演义（二十九）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第八章 第二次革命：场论的发展
（第二节）
我们前一节介绍塞伯格和威顿在1994年发表的两篇著名文章的第一篇，研究N等於2的纯规范理论，规范群为SU(2)，这很快为其他人推广到更为一般的群。这里再简要说一下塞伯格和威顿的结果。这个理论有无限多个真空，为一个复变量所参数化，就是黑格斯场的真空期待值。低能的有效作用量完全被一个叫初势的函数所决定，初势给出真空模空间上的一个正定度规。这个初势以及同样重要的电标量场和磁标量场都可以通过一组椭圆曲线来决定，每一个真空对应一个椭圆曲线。在模空间上的两个奇点处，磁单极或者一个双子的质量为零，奇点对应于一个简并的椭圆曲线（就是环面变成了一个圆）。如果给黑格斯场一个质量，磁单极（或双子）发生凝聚，色禁闭发生。
在第二篇文章中，他们将这些结果推广到有超夸克的情形。这些超夸克是N等於2的超多重态，同时也形成规范群SU(2)的一个基本表示，一个这样的超多重态叫一代。通过对单圈图的分析，当只有少于四代的超多重态时，理论在高能区是渐进自由的。当有四代超多重态时，单圈图对耦合常数没有修正，他们猜测，也没有非微扰的修正，这样和N等於4的纯规范理论一样，四代的N等於2的理论是共形不变的，同样也有强弱对偶。不但如此，由於SO(8)作用在超多重态的费米场上，还有所谓的三重对称性（triality，因为SO(8)的基本表示和两个旋量表示都是8维的，它们有交换对称性，而理论中的BPS态也有这种对称性）。
由於引进了超多重态这样的物质场，理论就变得很复杂，一是粒子谱本身就复杂，加上可以给每个超多重态以不同的质量，理论有不同的能区。在没有物质场时，纯规范理论的真空中非阿贝尔对称性破缺成U(1)对称性，我们叫这些真空形成的模空间为库仑分支，因为长程力是库仑力。当有物质场时，超多重态中的标量场，如果没有质量的话，也可以获得真空期待值（这些方向往往叫做平方向，flat directions)。如果仅有一代，要求势能为零的条件，所谓D条件，不允许有任何真空期待值。当代数超过一时，就会有新的平方向，在这些方向上原来的矢量多重态中的标量场不能有真空期待值，而在新的真空模空间的分支上，规范对称性完全破缺，所以这些新的分支叫做黑格斯分支。库仑分支和黑格斯分支只在某些点相交。
当有两代超多重态时，有两个黑格斯分支，每个分支是两维复空间，与库仑分支相交于原点（在这一点上经典理论中所有的标量场为零）。当代数超过三时，只有一个黑格斯分支。当然，塞伯格和威顿没有研究超过四代的情况，因为这个时候理论不在是渐进自由的或者共形不变的，从而存在兰道极点，理论在微观上没有定义。
所有这些理论都有新的整体对称性，这些对称性有一部分是手征对称性，和量子色动力学一样。当矢量多重态中的标量粒子被人为地加上质量时，超对称破缺为N等於1的超对称，库仑分支也变成一点或两点，也就是说只有有限几个真空。在这些真空中磁单极发生凝聚，色禁闭发生。如果有无质量的夸克，人们预期手征对称性破缺，这个预期的确在这里得到证实。手征对称性的破缺会产生pi粒子这样的介子，是哥德斯通粒子。
回到N等於2的超对称情形，我们主要感兴趣的是量子效应如何修改真空模空间的结构，从而决定低能有效作用量，以及稳定的粒子谱。当一些物质场没有质量时，存在黑格斯分支，这些分支都是复空间，复维数是偶数。进一步，这些空间都是所谓的超凯勒空间（hyper-Kahler)，度规为对称性所唯一决定，只是其绝对归一化由无限远处即渐进行为所决定。可以说，没有量子修正，从而原来有的奇点还存在。
库仑分支就完全不同了。和纯规范理论一样，库仑分支还是一个一维的复空间。和纯规范理论不同的是，此时奇点的个数以及奇点的行为（如绕奇点一圈的和乐）依赖于物质场的代数及质量。无限远点依然是一个奇点，它的和乐由单圈图决定，从而与代数有关。与纯规范理论相同的是，电标量和磁标量作为模参数的函数有非微扰的贡献，还是瞬子贡献，这些贡献依赖于代数，因为不同的代数有不同个数的费米子零模，而瞬子的个数的贡献取决于这些零模。一般地，只有偶数个瞬子才有贡献。
当物质场有质量时，BPS粒子谱也依赖于这些质量，从而质量公式里有三个量子数，两个是以前的，电荷何磁荷，第三个是对应于这个夸克质量的量子数，是一个整体U(1)对称性的荷。这样，质量公式不再有原来的某种SL(2)对称性，从而围绕一个奇点的和乐也不是S:L(2)的一个元了。
塞伯格和威顿对所有情况下的模空间的奇点做了仔细的分析，结果自然十分复杂。举例来说，在三代的情况下，假如所有的物质场有同样的质量。当这个质量很大时，在很远处有一个奇点，因为在这个点，双子的质量公式告诉我们有带电的零质量粒子。因为物质场的质量很大，模空间上靠近原点的低能有效理论等价于纯规范理论，当然这个纯规范理论的能标与三代理论的能标以及物质场质量都有关系。这个纯规范理论有两个奇点，这样，加上无限远点和较远的那个奇点，理论中共有四个奇点。
如果将三代的情况研究清楚，低于三代的理论可以通过研究重正化群得到。当然，如果四代的情况知道了，连三代的理论都可以推出。奇点的情况就是这样通过逐步降低代数获得的。
当奇点的个数知道了，以及每个奇点附近的零质量粒子也知道了，接下来就可以研究每个奇点的和乐。所有的和乐知道了，就可以导出塞伯格－威顿椭圆曲线，从而决定低能有效理论。他们其实是从一代的情况开始研究椭圆曲线的。当超多重态的质量为零时，模空间的有限部分有三个奇点。当物质场有质量时，椭圆曲线是能标和质量的多项式，这个多项式可以通过分析瞬子贡献以及联系纯规范理论来获得。
当有两代物质场时，无质量的情况下有两个有限的奇点，同样，无质量的三代理论也只有两个有限的奇点。椭圆曲线用同样的方法得到，只不过曲线公式越来越复杂。这些公式相互之间是自洽的：比方说，在三代的情况下，如果将一代的物质场的质量推向无限大，同时保持低能的特徵能标固定，我们应当获得两代的理论。
最后，四代的理论最为复杂。当物质场的质量都是零时，这是一个共形不变的理论，类似N等於4的超规范理论。由於没有量子修正，电标量和磁标量的公式很容易得到。但模空间的库仑分支上的几何，虽然是真空期待值的简单函数，却是耦合常数的复杂函数。必须强调的是，与渐进自由理论不同，那里没有耦合常数，只有能标，这里没有能标（共形不变），只有耦合常数。没有理由认为椭圆曲线也由一个耦合常数的多项式来刻画，事实是，椭圆曲线由耦合常数的两个椭圆函数来刻画。这个事实也证明了四代理论也有强弱对偶，其实是比强弱对偶更大的对偶：SL(2)不变性。所以，从很多性质来看，四代理论很象N等於4的规范理论。当四代物质场获得不同的质量时，椭圆曲线也可以确定。自然，这些结果可以用来推出小於四代的理论。
最后，我们谈谈威顿将他们的结果用到四维流形的数学上面，这是在数学界引起相当大的震动的工作，虽然在物理界几乎没有引起什么反应（当然弦论的研究者喜欢将这个工作作为场论和弦论对数学有重要应用的一个典型来引用）。数学在80年代末获得关于四维流形的微分拓扑不变量的一个重要结果，就是唐纳德逊不变量（Donaldson)，这些不变量由研究四维流形上的自对偶规范场获得。一个自对偶规范场就是瞬子解，所有这些解形成空间，其维数和四维流形的拓扑以及瞬子数有关。唐纳德逊不变量是瞬子模空间上的一些积分。维顿于88年在阿蒂雅的启发下发现这些不变量对应于一个拓扑量子场论中的关联函数，而这个拓扑场论可通过修改N等於2的规范理论中的超对称获得。这种修改是将一些超对称生成元由旋量变成标量，所以叫扭变（twisted）。标量的超对称可以看成BRST的对称生成元，所有可观测物理量在这个被扭变的理论中都是BRST不变的。威顿指出，由於理论的作用量本身是一个量的BRST变换，所以场论中的关联函数不依赖于耦合常数，也不依赖于四维流形上的度规。将度规变得任意小，理论趋於紫外极限，所有的关联函数成为瞬子模空间上的积分，从而是唐纳德逊不变量。这个结果只是指出数学上的不变量和量子场论的关系，对数学上如何计算这些不变量毫无帮助。
另外一个极限显然是红外极限。但在红外极限下，理论是强耦合的，所以乍看起来红外的计算更为困难。94年夏天之后，塞伯格－威顿在平坦的四维空间解决了低能问题，所以威顿本人开始考虑红外的结果在数学中的应用。在低能极限下，真空的模空间上通常有一个零质量的光子，但这个简单的理论对拓扑场论中的关联函数没有贡献。当我们趋向两个奇点时，出现新的无质量粒子，就是磁单极和双子，这些新的场和光子耦合对关联函数有贡献。类似紫外的情况，这些贡献很大程度上决定于“经典”理论，而经典理论就是解电磁场与磁单极场的耦合方程。威顿将这个方程组叫作磁单极方程。这些方程的解通常是分立的，可以定义有关的一些拓扑不变量。将两个奇点的贡献加起来，就获得了拓扑场论中的关联函数的生成函数。威顿并说明，奇点附近的真空对这个生成函数在红外极限下没有贡献。由於磁单极方程是阿贝尔的，解的性质容易研究，这就帮助计算唐纳德逊不变量。从物理的角度，他的结果很容易理解，而从数学的角度，就很不可思议了。
其实，后来弦论的发展带来许多数学的结果，从数学的角度都很难理解。当然，即使是物理本身也没有完全理解机制问题，如强弱对偶，还有许多要去理解的。这就说明，将来无论是物理上还是数学上，场论和弦论都会有很大的发展空间。
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