 《三思科学》电子杂志
2002年第12期·2003年第1期
合刊 总第18期
2003年1月17日
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治疗和预防艾滋病：未来展望
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[M.Shermer]柯克船长原则
[E.C.Scott]不仅仅是在堪萨斯
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中科学处境不利
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弦论通俗演义（二十八）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第八章 第二次革命：场论的发展
（第一节）
使人真正体会到革命的来到，无疑是塞伯格和威顿1994年夏天的两 篇文章。我在第一章中就提到，当时塞伯格并没有计划去亚斯本参加任何活动，他专程飞到那里宣传他和威顿的工作。那时有两个讲习班交错地举行，一个和量子色动力学有关，另一个是超对称的讲习班。我当时参加量子色动力学的讲习班，正在很有兴味地研究量子色动力学中的高能散射问题，不会想到超弦的长达数年之久的革命就此到来。在大多数人们还在尝试理解塞伯格－威顿的工作时，纽约时报以一版的篇幅介绍了他们的工作，评价极高。
这件重要工作建立在几个重要的概念之上。第一是塞伯格本人在过去一年发展的全纯分析：场论中有一些参数和场的期待值，场论以全纯 (holomorphic) 的方式依赖于这些量。在复分析中，我们知道，如果一个函数是全纯的，通常就被确定了。第二是电磁对偶概念，不同于我们前面谈到的N等于4的规范理论，塞伯格－威顿所研究的N等于2的理论本身没有电磁对偶，但由于理论中存在磁单极，电磁对偶以及推广的SL(2,Z)群可以作用在依赖于真空的一些物理量上面，从而帮助我们理解该理论的一些性质。最后，老的概念如磁单极凝聚所带来的后果也帮助了他们严格解出低能的作用量。
N等于2的规范理论比N等于1的规范理论有更多的限制，特别是对超对称多重态和作用量的可能形式。如果我们将研究范围限制在自旋不超过1的场，在4维中只有两种超对称多重态。一种叫手征多重态，又叫矢量多重态，含一个自旋为1的粒子，两个标量粒子和两个带手征的自旋为1/2的粒子。用N等于1超对称的术语来说，一个N等于2的手征多重态含有一个矢量多重态和一个手征多重态。N等于2超对称的另一个多重态叫“超多重态” （hypermultiplet)，含两个带手征的费米子，4个标量粒子，或者两个复标量粒子。我们可以仅仅用手征多重态来构造N等于2的超对称规范理论，此时理论中没有“物质”，是纯规范理论。这个时候，手征多重态形成规范群的一个伴随表示，也就是说，对应于每一个规范群的生成元，有一个手征多重态。也可以引入“物质”，就是超多重态。最简单的情形，这些超多重态形成规范群的基本表示，这个基本表示可以自洽地与手征多重态耦合。手征多重态与超多重态的共同特点是，每一个多重态中含4个玻色子和4个费米子，比N等于1的简单多重态大了一倍。
塞伯格和威顿在第一篇文章中研究的是最简单的N等于2的规范理论，只有手征多重态，并且规范群是SU(2)。理论虽简单，内容却是出奇地丰富。首先，与N等于1的单纯规范理论不同的是，这里有一个复标量场，所以有许多不同的真空，每一个真空代表一个超选择分支－也就是说，如果空间无限大，不同真空之间不可以互相过渡。很容易确定所有的规范不等价的真空：作用量中的势要求复标量场与它的复共厄对易，这样在SU(2)的李代数中它们成正比, 通过规范变换可以使他们转到嘉当子代数中去, 在这里是一个U(1)子代数。所以，在经典的层次上，所有的真空由一个复变量来刻画，就是复标量场在U(1)中的真空期待值。一般地，当标量场有真空期待值时，原来的对称性破缺到U(1)，除了这个U(1)手征多重态保持零质量，其余的粒子通过黑格斯机制获得质量。这些有质量的粒子都是带电粒子，带未破缺的U(1)的电荷。N等于2的超对称限制，不可能加上任何非平庸的超势，从而真空简并不可能被破坏，这样，将量子效应计入，真空还是由一个复参量来刻画。
同样由于多了一个复标量场，理论中存在磁单极解，这个解完全等同于我们介绍过的磁单极。不但如此，磁单极还可以带“电荷”，也就是理论中SU(2)未破缺子群U(1)的荷。其实，存在无限多中既带磁荷又带电荷的双子 (dyon)，这些双子是BPS态，所以质量完全由他们所带的荷所决定，当然，这些荷通常有量子修正。要强调一下，所有的双子形成超对称的超多重态，因为最大的自旋是1/2。
N等于2的低能的、含导数不超过两次的有效作用量完全由一个全纯函数所决定，这个函数叫初势 (prepotential)。初势是真空参数，即标量场真空期待值的函数，它的二次导数决定了真空模空间（参数空间）上的度规，所以必须是正定的。在经典意义下，二次导数的虚部正是规范耦合常数的倒数。在量子层次上，我们定义这个虚部就是有效耦合常数，包括圈图修正以及非微扰修正。事实上，N等于2的贝它函数在微扰论中只有单圈图的贡献，从而我们期待初势除了单圈图的贡献外，只有非微扰贡献。塞伯格－威顿的结果显示，这些非微扰贡献都是瞬子的贡献。
由于初势的二次导数与耦合常数有关，这个函数要正定的话就必须有奇点，这是复分析的结果。为了保证物理没有奇异性，塞伯格和威顿引进了一个新的函数，使得真空模空间上的度规是这个新座标与以前老座标（标量场的真空期待值）的一个简单二次型的“拉回”（pullback)，这个新的标量代表的是磁单极相应的场，但不是什么真空期待值，因为一般情况下磁单极的质量不为零，不会发生凝聚。引入了这个新的参数后，度规有明显的SL(2)不变性，也就是推广了的强弱对偶。但我们再次强调，这不是物理上的强弱对偶，因为新的标量没有一个无质量的磁单极与之对应。但是，在双子的质量公式中，这个新的标量与电荷标量同等地出现，所以双子譜有明显地SL(2)不变性。据我看来，引入磁标量是塞伯格－威顿工作中的最大胆的一步，也是最关键的一步。从场论的逻辑来说，这一步没有证明，自洽的结果将支持这个大胆的假设。
前面说过，在微扰论中，初势只有单圈图的贡献。当标量场的真空期待值很大时，非微扰的贡献越来越小，因为瞬子的作用量越来越大，从而贡献成指数衰减，换成标量场的函数，成负幂次衰减。这个理论又是渐进自由的，所以当真空期待值很大时，我们可以相信微扰论的结果（除了那个渐进自由理论中的普适质量外，真空期待值是唯一的质量标度）。这样，初势在真空模空间上无限远处的性质就被决定了。由于标量场的反演对称性，我们用标量场平方的真空期待值来参数化模空间。由于这个全纯函数在无限远处有个对数分支点，绕无限远点一圈，电标量和磁标量都发生变化，这个变化可由一个线性矩阵表示。其实，这两个标量形成模空间上的一个两维的矢量丛。
接下来是塞伯格－威顿文章中的关键一步。既然无限远处是矢量丛的一个和乐（holonomy)不平庸的点，那么由于模空间本身的拓扑平庸性，必须存在更多的和乐不平庸点。当这些点出现时，物理的原因是什么呢？经过一番讨论，他们确定，唯一的可能是当新的奇点出现时，某些粒子的质量趋向零，而这些粒子的自旋不超过1/2，只有双子才是可能的选择。所有奇点的和乐形成SL(2)的一个子群，他们进一步论证，由于度规的正定性，这个子群不可能是可交换的，这样要求除了无限远点外，至少还有两个奇点。
当这些奇点发生时，某些双子变成无质量的。如果磁单极变成无质量，那么那个磁标量为零（通过双子的质量公式），同时规范场的耦合常数变成无限大（因为磁标量的一次导数与耦合常数成反比），也就是说原来的规范理论在这个奇点附近是强耦合的，从而相应的磁耦合是非常弱的。磁单极含有一个标量粒子，如果质量为零，可以凝聚，也就是可以认为地使磁单极场获得真空期待值。一旦磁单极凝聚了，色禁闭就要发生，理论中不再存在无质量的粒子，而真空简并也消失了。如何达到这个目的呢？在原来的理论中，我们尝试加一个N等于1的手征场的质量项。当该项存在时，理论只有N等于1的超对称，一般认为真空是唯一的，并且色禁闭也将发生。但是如何使得本来是无质量的矢量粒子获得质量呢?最可能发生的是矢量粒子通过黑格斯机制获得质量。黑格斯机制要求存在无质量的标量粒子，现在磁单极正好满足这个要求。所以磁单极通过对偶的（即磁理论）的黑格斯机制使得光子获得质量。这对超势的要求同时给出磁单极的凝聚值！
以上的分析支持新的奇点中的一个对应于磁单极成为无质量粒子的图象。在这一点，磁单极是弱耦合的，可以应用微扰论，这一点附近的两个标量函数可以确定下来，从而这个奇点的和乐也就确定了。现在，选择极小的可能：在无限远点和这个奇点外只存在第三个奇点，第三个奇点的和乐由前两个和乐所决定。在第三个奇点，一个双子变成无质量的粒子。有了三个奇点的和乐以及全纯性质，下面就不难通过复分析解出整个模空间上的两个标量函数，从而解出初势了。所有这些函数与椭圆函数有关。事实上，原标量场平方的真空期待值是一个椭圆曲线的模参数，而真空的模空间参数化了这组椭圆曲线。后来人们将这些椭圆曲线称为塞伯格－威顿椭圆曲线。
最后，初势的二次导数给出有效耦合常数，以标量场的真空期待值展开，不难获得单圈贡献以及瞬子贡献。
希望以上的冗长的文字描述能帮助大家了解哪怕是一点点塞伯格－威顿理论。如果想进一步理解这个在历史上有着重要地位的进展，还需要阅读他们的原文。
《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第11期
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