 《三思科学》电子杂志
2002年第11期 总第17期
2002年11月23日
目 录
封面
封面故事
[江华]发育、线虫、凋亡
新闻
[三思新闻编辑]11月份科学新闻
├ 量子比特的反面
├ 寻找二氧化碳的新倾倒场
├ 分子马达有了开关
├ 从珊瑚礁中追寻气候变化
├ 西雅图面临海啸威胁
├ 除草剂使蛙类雌雄同体
├ 缺少金属的恒星
├ 丙肝患者的新希望
├ 世界10大健康杀手
├ 拿破仑死于胃癌
├ 银河系中心的黑洞在挨饿
├ 钚也是超导体
├ 没有心情，就不会胖
└ 可怕的东西有助于记忆
求知
[九歌]鸟类漫话--攀禽(一)
[九歌]生物色趣谈
[叶平安]感冒，意味着什么
[逍遥]终极巫术--疯牛病小传(三)
[文木]手性之谜--左还是右(一)
(二)、(三)
[李淼]弦论通俗演义(二十四)
(二十五)、(二十六)
译述
[J.Bice]神创论者的圣战
[M.Shermer]痴迷于磁力
[T.Reichhardt]在这个世界之外
[J.Lee]白色瘟疫--结核病
博物
[九歌]戴胜
[佳肴]三角龙
故事
[李淼]Sokal事件和Bogdanov
兄弟事件(上)
观点
[赵南元]基因噩梦乃人为编造
[方舟子]中国科学普及面临的挑战
历史
[高山]量子(三)--正统观点
[方舟子]凯特威尔的蛾子
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弦论通俗演义（二十四）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第七章 先声
（第三节）
这一节谈谈弦论中所有对偶的最简单的一种，T对偶。这个对偶的发现比较晚，虽然人们可能要问为什么不会更早一点。T对偶又叫“靶空间”对偶 (target space duality)，这里的“靶空间”就是一般的空间，叫成靶，是因为弦的世界面被嵌入这个靶空间。顾名思义，这种对偶是不同空间之间的对偶。
T对偶是两个日本人于1984年发现的，其中之一就是我们过去提到过的吉川圭二 (K. Kikkawa, 有趣的是，如果你用google查这个名字，可以找到我先前提到他的那一节）。84年弦论刚复活，没有什么人注意到这个工作，后来大家又忙于第一次革命带来的一些时髦的问题，更没有人注意到这个工作了。最早注意到他们的工作的也是两个日本人，酒井和千田 (N. Sakai, I. Senda)，他们的文章是第一个引用84年的那篇文章的，这是在两年之后。很有意思的是，吉川和山崎当初写那篇文章的目的不是为了解释T对偶，而是想通过对紧化后的卡斯米尔能量的研究来使得紧化稳定。T对偶不过是他们的意外收获，就是两年后的酒井和千田的文章，也是想研究环面上的紧致化的真空能量。真正重视T对偶是1990年前后。这个事例又一次说明，很多重要的工作仅仅凭当时人的反映是不够的，有时是错误的。
当空间有一维紧化成圆时，如果没有超对称，一个量子场论会有卡斯米尔效应，同样，一个弦论也有卡斯米尔效应。要研究这个效应，就必须计算在这个紧化下弦的谱。弦在没有紧化下的谱很早就为人所熟知，分成质心运动部分和振动部分。同样，当弦在一个圆上运动时，也分成这两部分，其中振动部分与没有紧化时并无不同。质心部分就很不同了，这时，弦在圆这个维度方向上的动量不再是任意和连续的，而必须象一个粒子一样，要量子化，这和最早的玻尔量子化条件并无不同。基本的量子化单位就是一个普朗克常数乘上圆半径的倒数，所以半径越小，动量的间隙越大。
如果我们研究的对象是开弦，故事到此结束。如果是闭弦的话，除了质心运动和振动之外，弦还可以绕在圆上。开弦当然也可以绕在圆上，但由于开弦的两端是自由的，缠绕的方式在运动过程中会改变，从而没有一个守恒量与之对应。闭弦的绕数是守恒的，所以绕数是一个好的量子数，必须出现在单个弦的谱中。不但如此，在弦的相互作用过程中，弦的总绕数是守恒的，这个很容易通过想象弦的断开和连接来验证。这样，当我们考虑紧化空间是一个圆时，单个弦的谱中就多了两个分立的量子数，一个对应于量子化的动量，一个对应于弦的缠绕数。绕数对能量的贡献与圆的半径成正比。
从弦的谱来看，对两个量子数的依赖完全相同，只不过是系数不同而已。如果我们用一个新的圆代替老的，让新的圆的半径是旧半径的倒数（以弦的长度标度作单位），那么在这个新的圆上所得到的谱和老的圆上的谱完全一样，换言之，我们看不出这两个理论有什么不同。这就是T对偶了，两个理论看起来不一样，实际上是完全等价的。当然，我们要证明这个等价性还必须证明除了谱之外，弦的相互作用也完全一样。在微扰论中，要证明这一点，只须证明每个费曼图都相等就行了，也就是说，我们要求在每一个高亏格黎曼面上，两维的共形场论完全一样。这个是比较容易做到的，因为两个共形场论都是自由场论，计算关联函数是相对容易的。
有一个特别的半径是自对偶的，当它的倒数等于自身时。用弦的长度标度作单位，这个半径基本上就等于弦的长度标度。半径小于这个自对偶半径对偶于一个大于自对偶半径的半径，所以自对偶半径可以看作弦论中的最小尺度。T对偶在90年左右引起的兴趣基本上就是用来论证弦论中有最小尺度，当然人们也用弦的散射振幅来说明这一点。
T对偶在一个量子场论中是绝对不可能的，因为那里没有绕态，所以T对偶完全是弦的性质。T对偶的存在说明在弦论中，空间这个概念不是绝对的，是根据定义来的，从而是一个物理的体现。有人会问，那么当空间中的一维是圆时，我们到底怎么决定它的半径。这是一个很好的物理问题，回答也是很物理的，就是，要看容易激发的激发态是什么，以及各个态的耦合强度。我们有两个对偶的理论，弦的偶合强度在原来的全部空间中是不一样的，而在约化后的空间中（将圆除外）的耦合强度是一样的。假定原来的耦合都是弱耦合，我们就要看轻激发态是什么。如果其中一个圆的半径大于自对偶半径，那么对应的动量模比对应的绕数模轻，我们就说物理用的尺子是用动量模构造的，半径是这个大的半径。当这个半径太大时，耦合强度有可能很大，这时就要仔细分析相互作用带来的后果了。当半径变小，绕数模越来越轻，我们就可以用这些绕数模构造尺子，量的是对偶的半径，因为在这个对偶理论中，原来的绕数模变成了动量模。
对于一个简单的圆来说，T对偶就是简单地把圆的半径换成倒数，这样的操作形成一个简单的群，就是Z(2)。如果没有T对偶，我们说由半径这个模参数组成的模空间是一个半直线，从零到无限大，后者更准确地说，是一个直线，如果我们用半径的对数做模参数。有了T对偶，直线在T对偶的作用下反演了一下，我们将这个直线以自对偶半径那一点为原点对折，得到一个新的模空间，这是一个半直线。
T对偶自然地推广到包括更多的圆，这时就有更多的对偶操作，不仅仅是简单的T对偶推广。当然每一个圆的方向都可以作原来的T对偶操作,当维度增多，还有一些纯几何的对称性，如在环面情形，我们可以将环面的两个方向作交换，也可以选择两个完全不同的基本圆来形成这个环面。这种纯几何的对称性已经形成一个相当大的群，有无数个群元，可以由两个生成元产生。原来的两个T对偶相结合使得整个环面的体积变成原来的倒数，再加上对弦论中普遍存在的一个反对称张量场做变换，形成另一个群。这两个群的集合就是群SO(2,2,Z), 这里我们不打算解释这个群的定义，希望学过群论的人一看就知道这是什么。
我们统一地把几何对称和弦的T对偶叫做T对偶群，这个群随着环面维度的变大越来越大，当维度是d时，这个离散群是SO(d,d,Z), 作用在模空间上。现在的模空间的参数由环面上的几何参数以及反对称张量场组成。T对偶群也作用在弦的谱上，作用也有直观的解释：弦态的动量在环面上有d个分量，同样，绕数也有d个分量，由这2d个整数形成一个2d维晶格，SO(d,d,Z)是这个晶格的对称群。当我们观察质量谱时我们会发现在这个群作用下质量谱不改变。
应当提一下，我们一直没有太强调其它模参数。就世界面上的共形场论来说，只涉及到我们提到的模空间。当我们考虑弦的相互作用时，就必须计及相互作用常数，这也是一个模参数，它在T对偶的作用下也会改变。
由于T对偶的发现和证明一直局限于谱和世界面，这种对偶严格说来只是在微扰论中被证明。后来人们在简单的圆的情形利用规范对称性来说明T对偶也是一种剩余规范对称性，这样，T对偶应当是一种严格的对称性，在非微扰论中也应当是成立的。
最后，回到T对偶发现的原始文章，在那里，吉川等人计算了真空能量，发现在自对偶的半径处能量取极小，这当然是对偶的一个简单结论。
《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第10期
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