 《三思科学》电子杂志
2002年第10期 总第16期
2002年10月1日
目 录
封面
封面故事
[九歌]恐龙的颜色
特写
[春上莱茵早]穿越物质结构之谜的
"隧道"——访德国电子同步
加速器研究中心
新闻
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├ 豆制品降低患乳腺癌危险
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├ 预测蛋白质结构
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├ 行星诞生的光环
├ 更好的锂离子电池
├ 人和黑猩猩，距离更远了
├ 遥远的行星，水的迹象
├ 黑洞的"缺环"
├ 长"兔牙"的恐龙
├ 老猫头鹰的新问题
├ 花开自有时
├ 侵略者的合作
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├ 掠水而行的大鹈鹕
├ 狗、牛、纤毛虫:排队等候中
├ 不易引起过敏的转基因大豆
├ 石器时代：聪明而记性坏
├ 干细胞的基因印记
├ 月亮还是垃圾？
└ 欧元电池
求知
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[逍遥]终极巫术--疯牛病小传(二)
[李淼]弦论通俗演义(二十二)、
(二十三)
译述
[戴维斯]怎样制造时间机器
博物
[刘华杰]"有用"与红豆杉的命运
[九歌]八哥(鸲鹆)
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[赵南元]"挤压"还是"选择"
[陶世龙]走出认识地球的误区(一)
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[江华]医学:科学与伪科学
[方舟子]当我们遇到有人宣布惊人
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弦论通俗演义（二十三）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第七章 先声
（第二节）
上一节谈弦论在中国，其实有点离题。没有想到，离题的话居然更有市场，那一节看的人大概是最多的了。这一节把话题收回来，谈谈超弦第二次革命前的一些背景知识。
最重要的，莫过於孤立子这个概念。在很大程度上，弦论实现了爱因斯坦在研究统一场论时的一个设想：在他的一个理想中，存在一个完美的引力理论，所有物质粒子在这个理论中都是场方程的解。自1994年以来，孤立子在弦论中占有中心地位。几乎所有的物体，包括弦本身，都可以看作是孤立子。
孤立子的经验发现虽然很早，可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤立波，但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁斯卡尔 (Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个独立学科。在很多情况下，孤立子的解看起来很难找到，但在一些简单的模型里可以用简单的办法找到。
一个线性波动方程的解总是有能量弥散，开始时准备的一个能量很集中的波包经过一段时间很就逐渐地扩散开来。所以要有一个或很多孤子解，波动方程就必须是非线性的。最简单的是两维时空中的一个标量场论，其中相互作用的势能是场的四次多项式，有两个极小点。每个极小点代表一种真空，能找到一个静态解，其在两个无限远处的取值是这两个极小点。因为是连接两个真空点的解，这样的解叫纽结解 (kink)。这个最简单的孤子是稳定的，因为它要是能衰变的话，两个无限远点的真空必须变成同一个真空，这是做不到的。还存在反纽结解，它的两个端点的真空与纽结解的完全相反。这样一个纽结解和一个反纽结解可以放在一起，因为纽结解的右边的真空与反纽结解左边的真空是一样的。这个系统是不稳定的，因为两边的真空是一样的了，这个不稳定性其实就是正反纽结的湮灭。
当时空的维数超过3时，有一个定理说，如果只存在标量场，就没有孤子解。通常，经典场的能量可以分为两部分，一部分与场在空间上的变化率有关，另一部分与场的势能有关。空间变化率越大，场的能量就越大，所以这一项使得场倾向于在空间上变得更均匀，从而能量比较分散。而势能项使得场变得很集中，在大部分的空间中场处於极小点。这两项有竞争的趋势，可以平衡时，就可能存在孤子解。在高维的时空中，势能项取得优势，从而不存在孤子解。
在三维时空中，解决这个问题的办法是在标量场以外再引入规范场。规范场的存在可以减小标量场空间变化对能量的贡献，从而这一项与势能项可能取得平衡，规范场本身对能量的贡献也可以是有限的。最简单的孤子解是所谓的涡旋解 (vortex)，这个解的特点是一个复标量场的取向与所在的空间点相对於原点的取向一致。这个解推广到三维空间中是一个弦状的解，因为这个解不依赖于第三维，从而能量集中在平行于第三维的一个轴上。这就是有名的尼尔逊-奥尔逊涡旋解 (Nielsen-Olesen)。
两维时空中的纽结解和三维时空中的涡旋解同属於一类，叫拓扑孤子解，因为这两种解中有一个守恒荷，与拓扑有关。在前者，拓扑荷就是两个孤立的真空之差，是一个固定的数。在后者，荷与所谓的绕数有关，也就是，绕原点一周，复标量场也在场空间上绕原点一周。如果表量场绕原点不止一周，拓扑荷就更大。
在涡旋解的情况下，我们又说该解饱和波戈茅力 (Bogomol'nyi) 下限。在这个简单的电磁理论中，人们可以推出一个能量的下限，当所有的场都满足一些一阶微分方程时，这个下限被饱和。所以从经典的观点来说，这个解是绝对稳定的。
当时空的维数高于三维时，我们就得引进非阿贝尔规范理论，去得到孤子解。最简单的例子是一个四维时空中的SU(2)规范理论，加上一个在这个群下的自伴随表示的标量场。这个标量场有三个份量，数目正好与空间维数相同 (与纽结解和涡旋解的情形一样)。这时，我们也引进一个势能项，使得极小点组成一个两维的面。现在构造一个解，其中标量场在场空间中的取向与空间点相对於原点的取向一致。标量场在无限远处在极小点上取值，所以标量场把无限远的两维球面映射到标量场的极小两维球面。这也是一个绕数为一的解，所以也是一个拓扑解。由於关于纯标量场的定理，我们需要一个不为零的规范场。由於在无限远处非阿贝尔对称破缺成普通的阿贝尔对称，这个一个磁单极解，带一个没有破缺的规范场的磁荷。这个解为玻利雅可夫与特霍夫特同时在1975年发现。由於标量场的方向与空间方向一致，长得象一个刺猥，所以那时又叫刺猥解 (hedgehog)。请注意，纽结解、涡旋解和刺猥解这三个名称都与解的形状有关。我建议大家记住这些名称，因为这些名称包含解的大致性质。这些解都满足波戈茅力的极限，所以这些解统称为BPS 解，BPS 来自于三个人的名字 ( Bogomol'nyi, Parasad, Sommerfeld)。它们都满足一些一阶微分方程，这些方程又叫BPS方程。
假定时空的维数更高，能不能找到新的孤子解？答案是肯定的。在场论中，下一个例子是五维时空。这里，我们仅仅应用一下四维时空中得到的解，这个解是玻利雅可夫于1975年发现的瞬子解 (instanton)。为何叫瞬子解？因为这个解是四维欧氏空间中的解，在场论中类似于量子力学中的隧道穿透解，不是一个实际发生的过程，而是一个量子效应。这个解仅仅需要非阿贝尔规范场，并不需要标量场了。在五维时空中，一个静态解不依赖于时间，实际上是一个四维欧氏空间中的解，所以瞬子解正好应用到这里，变成一个孤子解了。瞬子解也是一个BPS解。
我们提到的孤子解都有一个重要的特点，就是所有不为零的场在空间所有的点上都是光滑的，没有奇异性。如果放弃这个要求，那么即使在一个线性的理论中也可以找到能量集中在一个小区域的解，例如原来的点状电子为电磁场提供一个点状的源。这样的解不能叫做孤子解，因为如果象量子电动力学中本来就有电子，这个解不能代表一个独立的自由度。如果没有电子，这个解就毫无意义了。
我不知道在纯粹的场论中，高于五维时空是否存在孤子解。可能不存在。
如果有引力介入，情况就完全不同了。我们可以说，黑洞就是一个孤子解。黑洞解虽然有一个奇点，这个奇点与电子解的奇点完全不同。有两个不同之处：第一，黑洞的奇点不是存在於空间中的某个点，不是在所有时间上都存在的，用行话说，不是一个类时点，而是一个类空点，突然出现在某个时间上，有点象大爆炸宇宙的开始时的奇点；第二，黑洞的奇点被一个视界面藏起来了，站在黑洞之外的人看不到这个奇点。爱因斯坦理论是非线性的，所以这个类似孤子解的黑洞的存在很容易理解。 所有的高维的爱因斯坦理论中都存在黑洞解，所以我们可以说，与通常的场论不同，引力理论中总存在孤子解，无论时空维数有多高。也许两维时空和三维时空是特例。两维时空中，度规本身没有任何自由度，从某种角度来说，自由度甚至是负的。为了引入黑洞，就必须引入一个标量场，如伸缩场。引进这个标量场后，自由度的个数为零，即便如此，黑洞解就存在了。在三维时空中，纯引力理论的自由度也为零，如果有一个负的宇宙学常数，黑洞解也存在。
当在一个理论中找到孤子后，接下来有一个量子化的问题，必须考虑所有场的量子涨落对孤子解能量的贡献。计算这些贡献要将一个场以在孤子解附近的模来展开。对於玻色场来说，可能存在零模，也就是对能量没有贡献的模。最简单的是对应于孤子位置平移的模，这些模又叫模参数 (modui parameters)，因为它们是描述孤子自由度的参数。如果存在费米场，费米场的零模也有重要的物理含义。这些零模通常是局域的，在空间上的积分是有限的。费米场的零模，作为一个算子，作用在原来的孤子解上的时候，产生一个新的能量与原来一样的态，这个态是费米子。在特殊情况下，如在纽结解 情形，费米数甚至是1/2。当存在超对称时，一个孤子解通常有几个伴随的态。如果这个孤子解不破坏一些超对称，能量可能没有量子修正，特别是在这个孤子是一个BPS解的情况下。BPS解的能量满足下限，而这个下限恰恰与一个拓扑荷有关，明显没有量子修正。当BPS解同时又不破坏一些超对称的时候，这个下限是超对称代数的一个结论。超对称代数没有量子修正，拓扑荷也没有量子修正，所以孤子解的能量没有量子修正。 可能N等於4的四维超对称规范理论最为有名，因为这里的孤子解是一个磁单极，有一半的超对称没有破缺，所以其质量没有量子修正。同时，考虑到费米场的零模后，所有的解形成一个超对称多重态，而且与原来的规范场超对称多重态的表示完全一样。这个特点，是该理论可能存在强弱对偶的一个重要暗示，因为如果用磁单极作为基本变量，我们还是得到一个超对称规范场论，且耦合常数是原来耦合常数的倒数。
以上谈到的所有孤子解在弦论中都有重要应用。弦论由於含有引力，所以也有不同于以上孤子解的新解。这些解在超弦第二次革命中起到关键的作用。
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《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第9期
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