 《三思科学》电子杂志
2002年第9期 总第15期
2002年9月1日
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弦论通俗演义（二十一）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第六章 黑暗时代
（第四节）
我们前面说过，一个规范理论，或更一般地，一个矩阵模型，可能是一个弦理论，其主要根据是大N 展开的行为与弦的微扰展开极为类似。但要真正将一个矩阵模型等同于一个弦理论，却非常困难，原因是弦论往往是出人意料的方式出现。根据已知的可以等同于弦论的矩阵模型，弦论出现的方式至少有三种。我们这一节介绍第一种，即老矩阵模型，这个模型是在1989年为三个不同的小组发现的，一组人是前苏联人卡扎科夫(V. Kazakov)和法国人巴热壬(E. Brezin)，一组是当时都在芝加哥的道格拉斯 (M. Douglas) 和闲克，第三组是格罗斯和米格德尔 (A. Migdal)。米格德尔也是前苏联人，其时已和玻利雅可夫 一道到普林斯顿任教去了，最近则似乎完全脱离物理，开公司了。据说，他的公司也和他做的矩阵模型有关，是搞计算技术的。
这三组人的成功建立在过去的一系列工作之上，现在我们择要说明。首先，前面已经提过，在粒子物理这个系统中，大N展开的鼻祖是特霍夫特，概念起源于他若干个尝试解决夸克禁闭的工作之一。其后，很多人，特别是巴热壬、伊日克逊 (C. Itzykson)、巴里舍 (G. Parisi)和朱拜 (J-B. Zuber) 等四人的重要工作系统地研究了一类简单矩阵模型的平面解。不久，伊日克逊、朱拜和白西斯 (D. Bessis) 又发展了解简单模型中的高亏格贡献的方法。这些方法的发明，完全是为了研究量子色动力学，在当时并没有引起太多的注意。有意思的是，在超弦第一次革命期间，前苏联和几个欧洲人独立地将矩阵模型和随机面 (random surfaces) 理论联系起来，他们的出发点还不是弦论。
要理解弦论如何从矩阵模型导出，我们首先要了解随机面和矩阵模型的关系。
既然已经知道一个矩阵模型的大N展开是两维面的拓扑展开，矩阵模型和随机面有关就是自然的了。在随机面理论中，我们计算一个“过程”是将所有可能的面以不同的权重加起来，这里包括所有不同亏格的面，以及每个亏格中有着所有不同几何的面。权重和面积以及亏格有关，例如，我们可以要求面积越大，权重越小。那么，怎么才能从矩阵模型中产生这样的权重呢？首先，我们要想办法将矩阵模型中的某个量与面上的面积等同起来。在大N展开中，给定一个费曼图，我们将这个图与随机面理论中的一个面联系起来，具体办法是这样的：在费曼图中，给定一个顶点，我们围绕这个顶点画一个多边形，这个多边形的一个边与从这个顶点出去的一根线段正交。这样，我们得到一个对偶于费曼图的面，其中每一个线段与费曼图的一个线段正交，每一个面对应费曼图中的一个顶点，而每一个新的顶点对应原来的一个圈。为什么费劲做这个对偶呢？如果矩阵模型的作用量除了正常的二次项外，只有三次“相互作用项”，这样任一个费曼图只有三顶点，就是每个顶点只有三条线段伸出。这样，每个顶点对偶于一个三角形，用我们上面描述的方法我们只能得到一个只含三角形的面。在数学中，这是一个面的三角剖分。如果我们给与这样剖分中的每一个三角形一个基本面积，这个基本面积对应的权重就是原来矩阵模型中的耦合常数。进一步，与亏格相关的权重在矩阵模型中就是参数1/N，亏格越大，这个参数出现的次数也就越多。
不难看出，上面把矩阵模型与随机面对应起来的方法只能产生被离散化的随机面，因为三角剖分只能是对一个光滑的面的近似。如果矩阵模型的作用量还含有更多高阶相互作用项，那么得到的随机面理论也就不是纯“引力”理论，这里的引力是两维引力，原则上是平庸的，只有面积项起作用。比纯引力复杂一点的，是在面上引入一些“物质场”，这些物质场，如果是标量的话，我们就得到弦的世界面嵌入一个空间中的情形，这是为什么矩阵模型和弦论有关。
1989年，三个不同的小组令人惊讶地发现了同一个事实，就是，如果将矩阵的阶数推向无限大，同微调作用量中的耦合常数，就会获得一个完全连续的随机面理论。从我们前面的讨论，我们知道微调耦合常数是必要的，否则三角剖分永远是离散的。但当维调获得连续面的时候，每一个亏格的贡献会发散，这时我们就必须取无限大N 极限以获得有限的结果。
这三组人得到同样的结果也并不象表面看起来那样令人惊奇，首先，米格德尔和卡扎科夫一直在一起研究随机面理论，其次，闲克也去过法国，这是根据道格拉斯的说法。闲克很早前也研究过大N 矩阵模型。道格拉斯前两天在饭桌上说，格罗斯和米格德尔的第一篇文章含有一个错误，把非纯引力的部份算错了。当然，这两位是很聪明的人，不久在一篇长文中纠正了错误，并且给出一个很好的容易理解的表述。在老矩阵模型时髦的时候，人们常常同时引用这三篇文章，而把格罗斯和米格德尔的文章放在最后，一个可能的原因是，这两位的确是受了其他几个人的启发。
矩阵模型与随机面的相关在三篇重要文章出现之前已经在卡扎科夫的一篇文章中出现了，他利用矩阵得到与用其它方法一样的结果。这些其它方法，就是传统的世界面上的路径积分方法，有两个不同的处理办法。一种是以玻利雅可夫为首的苏联人的办法，在两维的度规中取光锥规范。另一种是更协变的共形规范，由法国的大卫(F. David)和河合 (H. Kawai) 及狄斯特勒 (J. Distler) 作出。最早的连续方法也只能算出一些临界参数，而矩阵模型则更有用，可以相对容易地算出关联函数和高亏格的贡献，这是人们当时为何激动的原因。在亏格为零时，用连续的方法第一次算出关联函数的是我和马克-古里安 (M. Goulian)。我当然一直在研究弦论，古里安则很早转到凝聚态里去了。现在想想，马克的转行也很自然，因为那时弦论的确处于一个低潮期，年轻人很容易动摇。记得一次在吃午饭的时候，马克谈他刚刚感兴趣的高分子，施特劳明格问他，这门学问是什么时候开始的。那年研究这个的德-建 (de Gennes) 正好得诺贝尔奖，施特劳明格说，既然已经得奖了，现在做这个有点晚了吧。说起来漫不经心，实际是一句至理名言。现在有一些学生问我，弦论正处于低潮，值得进来研究吗？问这样问题的人，往往对研究的过程不大了解。一个比较成熟的问法是，某莫学科正处于高潮，现在值得进来吗？因为高潮的原因往往是重要的问题已经被解决。
矩阵模型虽然比连续的方法更有效，却存在两大缺点。一个缺点是，由此得到的两维面上的“物质”不够多，甚至其自由度比一个自由标量场还小。最大也就是一个标量场，加上由两维度规中出现的一个场，只有两个标量场，所以弦论最多只是一个两维弦理论。由于在通常的弦论中，度规中的标量场是脱耦的，所以低于两维的弦论行为很不同，有一个随着空间变的弦耦合常数，也就是伸缩子不是一个常数，这样的弦论叫非临界弦论。另一个困难是，虽然一些量如配分函数 (相当于场论中的真空图贡献) 可以计算出来，其所满足的微分方程可以逐级地解出，但要得到严格解，从而是包含非微扰效应的解，并不容易，解也不唯一。
人们尝试了从矩阵模型获得非微扰弦论的信息，结果是有限的。九一年，威顿等人发现两维的黑洞，这个黑洞的背景从弦的世界面的角度来看是一个可解的共形场论，这引起很多人的兴趣，可能弦论界很多人对黑洞的兴趣是从这里开始的。遗憾的是，虽然人们花了不少精力研究这个两维的黑洞，所取得的物理进展很少，也没有人能够成功地找到一个类似矩阵模型的理论。一批人的兴趣因此转移到研究两维的伸缩子引力及黑洞上面去，文章写了不少，进展甚微。这样的兴趣，一直持续到第二次弦论革命的开始。
除了一些有限而且很专业的进展，如卡-丘流形上的镜对称 (mirrorsymmetry) 的物理上的发现，弦论在矩阵模型和两维黑洞后进入了真正的黑暗期，很多人就在此时与弦论说再见，而另一部份人则脱离了与弦论的经常性接触，虽然并没有完全离开弦论。
但是第一缕曙光往往是在最黑暗的时候出现的，看到这个曙光的人也是那些没有失掉信心和兴趣的人。我们下一章开始讲与弦论第二次革命有关的，却是完成于第二次革命之前的工作。
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《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第8期
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