 《三思科学》电子杂志
2002年第9期 总第15期
2002年9月1日
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弦论通俗演义（二十）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第六章 黑暗时代
（第三节）
在1995年之前，弦论集中研究微扰的行为，所以绝大部份研究与弦的世界面有关。我们前面提到的共形场论就是试图从微扰论的角度理解弦论所有自恰的背景，这样做自然是不全面的，会漏掉一些重要的可能性，我们会在谈超弦的第二次革命时回到这一点。有意思的是，漏掉的重要的情况并不多，直到今天，弦的微扰论还是研究弦论和M-理论的一个最重要的工具。
用微扰论研究弦论，一开始就先天不足，如同用费曼图研究量子场论一样，我们在开始时只有一堆“数据”，要从这堆数据中看到弦论或场论的面貌，要花很多功夫，要有许多直觉。例如，至今我们也无法从费曼图中看出量子色动力学中的禁闭现象。同理，如果想看到弦论的全貌和非微扰性质，要么不可能，要么我们要有很大的运气。当初，许多人以为通过模仿场论来研究弦场论，我们会得到弦的非微扰理论。这种想法，在今天看来，不是显得幼稚，也是在理论上存在极大困难的。
所谓弦场论，是将弦类比于粒子，然后进行二次量子化。我们先帮助大家回忆一下粒子的二次量子化。给定一个粒子，一次量子化的时候，我们无非是应用量子力学，描述一个固定的粒子的基本量是粒子的波函数。如果将这个波函数作为基本变量将其量子化，我们就得到一个更大的函数，是原来单粒子波函数的函数。这个泛涵，不但有单粒子的信息，还有任意多个多粒子的信息。我们可以用单粒子的函数来展开这个泛涵，第一项有与单粒子涵数无关，这是个真空，没有粒子。第二项与单粒子的函数成线性关系，是含有一个粒子的态，第三项与单粒子函数成双线性关系，含有两个粒子，等等。同样，弦的一次量子化的波函数是一个弦的位形的函数，因为弦的位形本身已经是一个参数的函数，所以单弦的波函数也是一个泛涵。如果我们形式上将弦的位形看作一个“波函数”，弦本身的波函数可以用这个函数来展开。第一项与弦的质心位置有关，是一个快子。弦的波函数不能任意，必须满足一些物理条件的限制，这样，展开的第二项是弦位形的二次项，代表引力子，等等。
弦场论则以上面说的弦位形的泛涵作为基本变量的量子理论，在闭弦的情形，情况十分复杂，如果要保持时空的对称形，这个理论的作用量含有无限多个项，要作量子化是基本没有希望的。在定义量子化时，还有另外一个技术上的困难，就是，弦的二次量子化波函数是一个泛涵的泛涵，没有办法处理这么复杂的东西。第一个困难可以克服，但要牺牲时空中的协变性，其实，在弦论的早期，吉川圭二(Keji Kikkawa) 等人于 1974年已经研究了在光锥规范下的弦场论，他们发现弦场论的作用量最多含有弦泛涵的四次项，就可以完全包含弦的微扰论的所有“费曼图”了。由于这个理论不是协变的，很难推广到一般时空背景，从而对弦论作非微扰的研究。吉川圭二已从大板大学退休，是一个很温文尔雅的人。
开弦理论有一个简单而优美的表述，这就是威顿的三次弦场论，这个理论以陈-西蒙斯的形式出现，同时非交换几何也第一次在弦论中出现。非交换的概念在此出现非常自然，因为弦场的乘积是用两个弦连接而成一个弦来定义的，本身是不可交换的。这个理论在1986年被提出后，很快被证明是正确的，即可以用来导出开弦的微扰论。对它的非微扰研究也是最近才开始的。
在整个80年代，唯一与弦论的非微扰性质有关的研究是格罗斯和他的印度学生佩里维尔 (V. Periwal) 关于弦微扰的高阶数渐进行为的研究。在场论中，有一个很重要的结果，就是当圈数增加时，高圈效应以圈数的阶乘而增大，所以微扰级数是一个发散级数，也是一个渐进展开。只有当耦合常数很小时，前几项才是重要的。一个渐进展开对应的严格函数通常在原点处有奇点，而且是本性奇点。这个原点，在场论中就是耦合常数等于零的地方。虽然这个结果看起来比较深奥，其实一点也不，在寻常的量子力学中我们已经遇到这种行为。例如在势垒穿透问题中，穿透的几率随着一个量成指数衰减，这个量和势垒的高度和宽度有关。而高度和宽度又和“耦合常数”有关，后者越小，则穿透的几率越小，所以耦合常数为零的地方是穿透几率的一个本性奇点。这个量子力学问题的微扰展开就是我们熟悉的半经典展开，很早以前，人们就知道半经典展开其实是一个渐进展开。随着阶数的增大，每一项贡献以阶乘的方式增大。回到格罗斯和佩里维尔的工作，他们通过对弦的世界面的模空间的研究发现，弦的微扰展开也是一个渐进展开，不但如此，这个级数的发散程度比量子力学和量子场论中的发散还要严重，因为阶乘的阶数被加倍了。这就说明，弦的耦合常数为零的一点也是本性奇点，并且，弦的非微扰效应应当比场论中的非微扰效应还要大。
在量子力学中，这样的非微扰效应往往与隧道穿透一类的过程有关，这些过程不是实过程，因为只有在量子论中才有，其完成的时间是瞬时的。在场论中，这种过程和四维的欧氏时空中的经典解有关，代表的过程与隧道穿透一样，最有名的是非阿贝尔规范理论中的瞬子解。所以瞬子所代表的穿透过程是一种非微扰效应，这个本性奇点会在微扰论的高阶行为中体现出来。当然，高阶发散行为的体现不仅仅是瞬子和隧穿，在场论中，还有和场论的紫外发散有关的贡献，如所谓的“重正子”贡献 (renormalon)。这些效应太技术化，这里就不谈了。
特霍夫特为了研究场论的非微扰行为，引进了所谓的大N展开。这中展开只有在非阿贝尔规范理论一类的矩阵理论中才能做，原因是这里展开的参数不再是通常的耦合常数，而是矩阵阶数的倒数。因为矩阵的阶通常用N来代表，所以这个展开叫大N展开，实际上是1/N展开。这个新的参数很像我们熟悉的耦合常数，只不过，这个耦合常数不是以明显的方式在作用量中或者微扰计算出现。
在特霍夫特那里，大N展开有一个非常有意思的几何解释。我们通常将费曼图画在一张纸上，看起来是一个平面图。常常，我们不得不将线段交叉地画，如果这种情况不可避免，我们就说这个费曼图不是平面图。可以画在平面上的又不出现交叉的图又可以画在球面上，而不可以画在平面上的图总可以画在一个更复杂的面上。比球面稍复杂的是一个环面，只能画在环面上的图我们叫作亏格为一的图。现在，特霍夫特证明，所有在大N展开中贡献最大的费曼图都可以画在平面上，或者球面上。仅次于这些图的贡献来源于能画在环面上的图，同样，更小的贡献来自于那些只能画在高亏格面上的图。这样，大N展开的阶数就成了图的亏格数。
我们不能看出，大N展开很像弦论的微扰展开，是一种拓扑展开。虽然费曼图本身是一维的，但用来分类图的方式是两维的面，如同弦的世界面。这种联系，使得人们猜测一些场论如规范理论是一种弦论，特别是，量子色动力学中的夸克禁闭可以和弦联系起来：连接两个颜色相反的夸克是一根由胶子形成的弦。到目前为止，夸克禁闭的弦理论还没有建立起来，但人们在近年来发现，一类规范理论的确可以看成是弦论。
与通常以阶乘方式发散的微扰论不同，当亏格数固定时，费曼图的个数只是以圈数的幂次增加，这就大大控制了渐进展开的发散行为。当然，如果我们提高亏格数，每个亏格的贡献也随着亏格数增加，并且是以类似弦论中的阶乘数增加的！这是矩阵理论可能是弦论的另一个证据。当然，为了研究场论本身的非微扰性质，也许我们能计算所有的平面图就可以了。在早期，人们为了仅仅数平面图的个数，发明了简单的矩阵理论。这个矩阵理论既不是场论，也不是量子力学，而仅仅是一个矩阵积分。积分的被积函数是一个指数函数，指数类似场论中的作用量，可以证明，这样简单的矩阵积分可以用来准确地计算与之相关的场论中的费曼图个数。
作为耦合常数的函数，矩阵积分有一些漂亮的解法，尤其是平面图的贡献。人们在大N极限下发现了一些和场论有关的效应，例如相变。那时，大家甚至期望一个简单的矩阵模型可以告诉我们量子色动力学中的禁闭信息，当然这是奢望。不奇怪的是，在研究矩阵模型的十年后，老结果经过发展真的和弦论联系起来，这就是我们下一节中要谈的老矩阵模型，或者，根据威顿前天的说法，是中世纪矩阵模型。
最后，我们提一下，场论中研究的矩阵模型很早就在核理论中被威格纳和戴森研究过了。在那里，矩阵的本征值是用来模仿一个大原子核的能量的本征值的，而矩阵积分与能量本征值的分布有关。
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《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第8期
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