 《三思科学》电子杂志
2002年第9期 总第15期
2002年9月1日
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[逍遥]终极巫术——疯牛病小传
[九歌]陆生动物群(三)
[九歌]生态策略(上)
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[李霖]人与癌
[异调]证明的证明(上)
[李淼]弦论通俗演义(十九)、
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[R.Hipschman]SETI：射电搜索
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[陶世龙]现代化的人与科学
[赵南元]民主、法制、伦理与科学
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弦论通俗演义（十九）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第六章 黑暗时代
（第二节）
在凝聚态物理中，多年来有一个重要问题，就是临界现象。这种现象很早就被发现，如乳光现象，水和蒸气的共存点。后者是水在变成蒸气的过程中，气压的变化终于使得水气不分。水变成气是一级相变，其特点是很多物理量突然改变，如密度。一级相变有一个终点，在这里，不连续的量成为连续的量，而它们的导数变成不连续的，这就是二级相变。过去描述二级相变的理论是兰道平均场论，比较粗糙。后来威尔逊发展了重正化群的方法，将所有对涨落有贡献的项都计及，形成了一套非常成功的理论。
当一个系统处在二级相变点，也就是临界点时，涨落的效应最大，因为此时系统 (假如是无限大的) 已没有能量的间隙，用场论的语言说，所有场都是没有质量的。更严格地说，所有关联函数中没有长度或质量的标度，从而系统本身有标度不变性。只要系统比较正常，那么标度不变性就蕴涵着共形不变性。标度变换仅仅改变整体的标度，而一个普遍的共形变换可能改变形状，所保持的仅仅是原来的所有图形中的角度。很多研究得比较透彻的临界系统是两维的 (三维的系统当然更实际，但很难研究)，所以两维的共形场论变得非常重要。
在一个局域场论中，局域算子的概念很重要。原则上，给定任何一个空间中的点，列出所有局域算子，相当于在一个闵氏空间中知道了整个希尔伯特空间。不同点之间的算子关系可以通过空间平移来得到，从而相互之间是一个线性关系。知道了一点的算子还不等于了解了系统的所有性质，例如，我们最感兴趣的是关联函数。威尔逊指出，如果知道任意两个定义在不同点算子乘积，原则上所有关联函数都被确定了。两个算子的乘积，可以用两个算子的其中一点上的所有算子来展开。这个展开通常是渐进展开，也就是说，当把这个算子乘积代入一个关联函数的时候，得到无限多关联函数之和，这个和是一个渐进级数。由于算子乘积展开中每一项的系数随着两个算子之间的距离变小而变小，这个展开在小距离上非常有效，所以有时人们将算子乘积展开叫成短矩展开。
场论的一个特点是，关联函数通常随着距离的减小而变大。这就意味着，在算子乘积展开中，最重要的项随作距离变小而增大。而大多数项随着距离变小而变小，所以我们只须重视有限的几个项有行了。如果是共形场论，我们还可以按照标度来分类算子，在这个分类中，每一个算子在变换尺度时也变换一个因子，该因子通常随着尺度的变小而变大，这正是场论在小尺度上自由度增大的一个反映。对于每一个标度算子来说，那个变化因子是尺度变换的一个幂次，幂通常是负的，取其正数，这个正数叫这个算子的指标。我们可以将空间一点上的所有算子按指标的大小排列。随着指标的增大，算子的数目越来越多。
现在，同样可以进行算子乘积展开的研究。所有涉及的算子都有一个固定的指标，这样乘积展开中的每一项算子前的系数就是两个算子距离的一个幂次。随着算子的指标的增大，这个幂次变得越来越正，从而该项便得越来越不重要。展开中有最小指标的算子最重要，通常的情况下，其系数是距离的一个负幂次。
玻利雅可夫早期对共形场论的贡献是，他很早就意识到算子乘积在共形场论研究中的重要，他并猜测，三个算子乘积的结合性可能是研究共性场论的关键，这个结合性叫做自提升 (bootstrap)，这个英文词很难翻译，大意是，这是一个自洽自足的系统。如果能把所有的自提升方程都解了，整个共形场论也就被解了。
1984年的BPZ 等人的文章中新添的一个关键点是无限大的共形变换代数。共形群或共形代数在两维中很特别，只有在两维中，有无限多个共形变换。这从两维的度规总可以写成一个局域的正交度规看出：取正交度规的复坐标，这样度规只有一项，就是复坐标的无限小变化乘以其复共轭，经过任何局域的全纯 (也就是解析)变换，这个正交形式不变。在量子场论中，对应于每一个变换，有一个算子。大家熟知的情形是，在时间平移下，对应的算子是能量，或哈密顿量；在一个空间平移下，对应的算子是这个空间方向上的动量。同样，对应于每一个共形变换，有一个算子。无限多个共形变换有无限多个算子对应。共形变换代数对应于一个无限大的算子代数，同任何量子代数一样，这个代数可能有反常，这里的确有反常，代数的反常项是一个常数，这个常数正比于一个很重要的量：系统的中心荷，与系统的自由度有关。这个量子代数首先在弦论中出现，由维拉所罗发现，就叫维拉所罗代数。
维拉所罗代数其实是两套代数，一套对应于全纯变换，另一个对应于其复共轭。每一个代数中有一个重要的生成元，这个生成元对应于坐标的标度变换，所以，任何一个标度算子与它的对易子还正比于这个算子，正比的系数就是这个算子的全纯指标。我们以前定义的指标是全纯指标和反全纯指标的和。
由于共形变换是对称性，所有算子在共形变换下回到算子的一个线性组合，也就是说，所有的算子形成维拉所罗代数的一个表示。这个表示是可约的，可以分解成无限多个不可约的表示。当这个分解是有限的时候，该共形场论叫做一个极小共形场论。 在每一个可约的表示中，有一个特别的算子，该算子与所谓的正模维拉所罗代数元对易，所以这个算子是这个表示中的指标最小的，不然的话它与正模元的对易子给出带有更小的指标的算子。这个特别的算子叫原初算子 (primary operator)。
给定一个原初算子，接下来就是用表示论来研究与原初算子处于同一个表示中的其它算子，其它算子叫做次级算子 (secondary operators)。同时，给定原初算子之间的关联函数，次级算子之间的关联函数就可以通过微分等的作用由原初关联函数确定。有一些特别的算子，就零算子，表面看来不为零，其实应等价于零。这些算子通常通过用维拉所罗代数作用在一个原初算子上获得。将这个算子插入一个关联函数，应得零。但是，一个零算子通过用各种微分算子作用在原初算子上获得，这样，我们通过插入零算子的办法就获得了一些关联函数所满足的微分方程。这个结果是BPZ 文章的重要结果之一。
BPZ 文章中另一个重要结果是对极小模型的分类。极小模型的中心荷必须小于1，一个无质量自由标量场的共形长论的中心荷为1，所以一个极小模型中的自由度小于一个无质量的标量场。极小模型由两个整数所刻划，其中心荷是这两个整数的函数。这些场论有的是么正的 (即没有负指标的算子)，有的不是，甚至中心荷都可能是负的。后来，弗里丹等人进一步研究了么正极小模型的分类，通过研究态之间的内积，他们得到结论，两个整数代表的一类模型中只有一类用一个整数刻划的极小模型是么正的。
BPZ 文章的第三个重要结果是关于算子乘积的系统的研究。自提升关系可以通过图形来表示，也就是所谓的交叉对称 (crossingsymmetry)。通过算子乘积展开，一个四点函数又可以拆成全纯函数和反全纯函数的乘积的和。还有一个重要概念，就是聚变规则(fusion rules)，这些规则说，当考虑两个分属两个不同表示的算子的乘积时，在展开中只有一些表示中的算子才会出现。自提升关系的重要作用是，一旦给定聚变规则，在很大程度上算子的乘积展开就确定了。
还有一种比极小模型范围更广的模型，叫有理共形场论。在一个有理场论中，任何关联函数都是一个有限的和，其中每一项是一个全纯函数和反全纯函数的乘积。有一段时间，在莫耳 (G. Moore)和塞伯格等人的倡导下，许多人把精力化在分类有理共形场论以及研究具体的模型上面。
说到具体模型，不能不提外斯-朱米诺-威顿模型。威顿在研究玻色化时重新发现了这一大类模型，他证明了不动点，也就是标度不变点的存在。在这一类模型中，除了共形不变外，还有许多其它的对称性，这些对称性写成代数的形式就是过去在粒子物理中出现过的流代数，或者叫凯兹-莫狄 (Kac-Moody) 代数。我们前面说过，维拉所罗代数的存在引出一些关联函数满足的微分方程，同样，凯兹-莫狄代数也有对应的微分方程。这些微分方程至今还没有完全研究透彻，方程与数学中的一些重要问题如黎曼-希尔伯特问题有关系。外斯-朱米诺-威顿模型属于有理共形场论，其实，有理共形场论的很多特点都是从这些模型中总结出来的。
说来奇怪，当弦论的第一次革命结束时，黑暗的时代到来时，共形场论一枝独秀，使很多人几乎忘记了弦论本身，而以共形场论作为一个独立的研究方向。记得那时出国到意大利，与科大的一位同学一道虔诚地拜访威顿 (相信他早已忘了这事)，问他几个关于共形场论的问题。问完后，他竟然反问我们，对弦论感兴趣吗？说明他无时不刻地在想与弦论有关的问题，即使他也在专心研究共形场论。可以说，共形场论的短期繁荣某种程度上弱化了弦论的黑暗时代。
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《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第8期
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