 《三思科学》电子杂志
2002年第7期 总第13期
2002年7月1日
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弦论通俗演义（十七）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第五章 第一次革命
（第四节）
1984-1985年的超弦第一次革命可以说在不到一年的时间就已完成，也就是说，今后若干年所围绕发展的几个问题和重要概念在一年之间已被提出。我们在本章前三节所谈的三篇文章都在一年之间出现，这三篇文章是超弦第一次革命的三篇最重要的文章。其它几篇重要文章也都在一年左右出现。
我们在这一节谈谈其它一些重要工作。毫无疑问，谈到微扰弦论，首先想到的是两维共形场论。我们把关于两维共形场论的稍微仔细的介绍推迟到下一章，这里，只限于谈一下共形场论对于微扰弦论的重要性，以及在弦论第一次革命间及之后共形场论在弦论中的几个应用。
顾名思义，共形场论是一类特殊的场论，在其中有共形不变性。共形不变的含义是，量子场论中没有一个内秉的标度，所有物理学量，如关联函数，只和这些物理量本身带来的标度有关。譬如，在一个关联函数中，所有出现的标度只是各算子之间的相对距离。由于没有内秉标度，场论含有较高的对称性，除了我们熟悉的洛伦兹对称性外，还有变换标度不变性。在不同的维度中，标度不变性隐含着更大的对称性，通常叫做共形不变性。粗略地说，共形变换是一种只保持任何一个图形的所有夹角而改变长度的变换。在两维中，存在无限多这些变换，所以两维共形场论很特殊，在很多情况下可以作解析研究。开这种研究先河的是前苏联的几个人，贝拉文 (A. Belavin)、玻利雅可夫和查莫罗德契可夫 (A. B. Zamolodchikov)，而他们的重要文章，简称BPZ 文章，是在1984年发表的。
这个时间上的巧合也许并不奇怪，因为玻利雅可夫本人对弦论很感兴趣，他在1981年已经发表了关于所谓玻利雅可夫弦的重要文章。对于他来说，研究两维共形场论有两个目的，一是将其应用到统计物理中的临界现象上，二是应用到弦论中。给定一个时空背景，弦论中的世界面作用量定义一个两维量子场论，这个量子场论必须是一个共形场论，如果不是，我们要遇到两个基本困难。第一，如果没有共形不变性，世界面上的每一个度规都含有一个决定世界面上每一点的长度的标量场，这样定义的散射矩阵破坏了对散射矩阵的一个基本要求，就是么正性。第二，没有共形不变性，我们也无法定义计算散射矩阵的最基本的东西，即每个散射态的波函数，或即顶点算子。
共形不变的要求在弦论的微扰论中有非常重要的推论，一个看起来不可思议的结论是，要求一个定义在弯曲时空中的世界面上场论共形不变等价于时空中各个场的运动方程，特别是广义相对论中爱因斯坦场方程及其推广。
对于纯粹的玻色弦来说，世界面上的量子场论必须是一个共形场论，而对于超弦来说，这个共形场论还含有更大的对称性，就是一些两维中的超对称，这个共形场论也就叫超共形场论，除了一般的超对称外，还有无限多个新的超对称，与无限多个共形不变性类似。而在杂化弦中，场论也是一种杂化，左手模是一个普通的共形场论，而右手模是超共形场论。
可以说，在第一次革命后，研究共形场论占据了许多人的大部份精力。有人甚至把研究共形场论等价于研究弦论的所有动力学，弗里丹 (D. Friedan) 就是一个典型，他强调将共形场论分类以及深入研究各种世界面的集合：一个无限高维的空间，普适模空间。由于生病的原因和坚持他的这种信念，弗里丹已经多年脱离弦论的主流，基本上没有什么研究了。
另一个重要研究方向是各种各样紧化，特别是卡拉比-丘紧化。我们说过，一般的卡拉比-丘流形非常复杂，甚至一个明显的度规都写不出。所以，人们很快想到如何构造一些简单而有用的模型，所谓迹形 (orbifold)，就是这样被发现的。与更为普遍的流形不同的是，迹形的拓扑通常由一些“奇异”的点来实现，当我们远离这些点的时候，空间是平坦的，拓扑也是简单的。从一个平坦的欧氏空间出发，利用欧氏空间的对称性就可以构造迹形。我们已经谈过如何构造高维的环面：方法就是用欧氏空间中的晶格，将晶格单胞的“对边”等同起来。用数学的术语说，晶格本身是欧氏空间平移对称群的一个离散子群，而环面则是欧氏空间在这个离散子群作用下的等价类。环面是最简单的迹形，在这里，迹形的“迹”有明显的含义，就是，环面上的每一个点是欧氏空间的一个轨迹，这个轨迹由晶格作用在一个点上来生成。在环面的情形，每一个“迹”实际上就是一个晶格，这个“迹”是晶格群的一个忠实的表现。
更为一般的迹形是通过推广环面的构造获得。一个晶格群是欧氏空间的对称群的一个子群，欧氏空间的对称性除了平移外，还有转动对称以及反演对称。将晶格扩大为一个更大的离散群，其中包括一些转动元，我们就可以构造一般的迹形了。同样，迹形上的每一点是欧氏空间一个点的“迹”。通常，这个迹所含的欧氏空间的点和这个离散群有一一对应，在这个情况下，迹形上的点是一个普通点，也就是说，在这个点的周围，所有几何与欧氏空间没有什么不同。在特殊的情况下，有的点在离散群的一些元作用下不变，这个点生成的迹也就不会是离散群的一个忠实表示。在迹形上，这个“迹”所对应的点是奇异的，它周围的几何与欧氏空间的一个邻域有所不同。一个最简单的例子是，我们用一维晶格来构造一维的圆，再加上关于原点的反演元，我们构造出的迹形是一个线段，这个线段无非是将圆对折而获得。线段的两个端点是奇异的，所对应的在直线上的迹比一般的迹少了一半的点。一个稍微有点复杂的迹形是线段在二维的推广，我们同样通过用两维的晶格来构造两维环面，形状象一个轮胎。再加上一个针对原点的反演元，我们得到一个完全不同的迹形，其形状象一个四面体，除了四个顶角外，所有的点都是正常的。而每一个顶角是奇异的，因为绕顶角一周，我们得到的角是180度，不是360度。四面体的拓扑是一个球面拓扑，与环面完全不同。
不是所有的欧氏空间的离散子群都可以拿来构造迹形，我们要避免构造出怪异的空间。举一个例子，取一个转动元，这个转动元所对应的转动角不是360度的有理数倍，那么一个点在其作用下，无论经过多少次作用，总不会回到原来的地方。这样，这个点仅仅在这个转动元的作用下就生成无限多个点，且集中在一个圆周上，而这个圆周上的另一个点也会生成无限多个点，这两组无限多个点中有些点可以任意接近，虽然原来的两个“母点”并不接近，这样生成的迹形不是豪斯道夫空间。
弦论在迹形上有很有趣的性质，如有所谓的“扭结弦”(twisted sector)存在。这些扭结弦有很直观的图像，举圆这个最简单的迹形为例，在这里，一个扭结弦无非是一个绕在圆上的弦，可以绕圆一周，也可以绕圆许多周。所以我们通常不说这些弦态是扭结态，而说是绕态 (windingmodes)，他们是扭结态的特殊情形。可以这样来理解为何叫他们作扭结态。从直线出发来构造圆，直线上原来的一些态，通过平移生成无限多个象，这些象加起来对应于圆上的一个普通态(也就是说，一个圆上的普通弦态在直线上也是一个“迹”)。但是，如果有一个弦的两个端点停在一个点的两个象上面，我们会得到一个新的弦态，这个弦态在原来的直线上不存在，因为不是一个闭弦，在迹形即圆上就是一个闭弦了。由于每一个晶格群的元都会有带对应“量子数”的弦存在，我们将这些态叫作扭结态：通过用平移元扭结得到。同样，我们说过的反演元也有对应的扭结态。在线段上，有两组新的扭结态，他们起始于某一点，通过端点回来又终结于这一点。扭结态常常是局域化的，如通过线段端点的扭结态，他们不能自由地在线段上移来移去。
扭结态的存在不是人为加的，如果你想构造一个弦论，其中没有扭结态，那么通过相互作用，原来的一个非扭结态可以变成两个量子数相反的扭结态。
卡拉比-丘紧化的另一个方向是研究一些抽象的共形场论，通过共形场论中弦态的谱与卡拉比-丘流形上的谱的对比，可以找出一些对应关系，已经找出的叫做盖普乐模型 (Gepner models)，是盖普乐本人首先发现的。抽象的共形场论的研究比直接研究卡拉比-丘紧化多很多好处，如可以计算严格的顶点算子，在流形上很难做到这一点。很多卡拉比-丘流形的数学性质，如所谓的镜像对称性 (mirror symmetry)，先是在共形场论中发现的。所以，物理学家再一次有机会对数学作出独特的贡献，由于现代科学的分工越来越细致，这些贡献是一个纯数学家不可能作出的。在这个特殊的领域，纯数学家能做的是对物理学家的发现作出“严格”的论证而已。
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《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第6期
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