 《三思科学》电子杂志
2002年第6期 总第12期
2002年6月1日
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弦论通俗演义（十五）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第五章 第一次革命
（第二节）
书接上回，那里我们预告了这一节讲杂化弦。杂化弦的英文是heterotic string，不知谁是始作俑者，估计格罗斯 (D. Gross) 和哈维 (J. Harvey) 都有可能，因为这两位都有玩弄文字游戏的爱好。杂化的含义是这个新的弦理论是两种弦的杂交，一种是10维的超弦，另一种是26维的玻色弦。由于后者中的16维是紧化的，而且没有了另一半(下面谈)，所以这16维不是物理的空间，这个弦理论还是10维的弦理论。这个杂化构造有两个选择，一种产生的规范群是SO(32)，另一种产生的规范群就是格林和史瓦兹预言的E(8)XE(8) 群。
杂化弦的4个作者都在普林斯顿，所以他们被叫做普林斯顿弦乐四重奏。“老大”是格罗斯，早已是个著名人物，最有名的工作是与维尔彻克共同发现量子色动力学中的渐进自由。在60年代末70年代初也短暂地研究过弦论。他和史瓦兹是同学，都是邱的学生，又同时在普林斯顿作助理教授，后来只有他成为那里的永久正教授。弦乐组合的其他三人都很年轻，哈维是助教授，马丁尼克 (E. Martinec) 是博士后，而儒么 (R. Rohm) 是威顿的学生。第一次革命产生了很多超新星，儒么是其中之一。他是一个真正的超新星，非常亮，但高亮度只持续了很短一段时间，现在已几乎不可见了。
我听到过一个非正式的故事，说当另三人有了构造杂化弦的想法之前，威顿或者儒么已经有了类似的想法，不管是谁先有的，威顿建议他的学生研究这个问题。后来知道另三个人也在做类似的工作，威顿就建议他们吸收儒么。这在普林斯顿是难能的，因为有一种说法，普林斯顿高能组的人打印出自己的文章时都是跑步到打印室去的：生怕别人看到这篇文章中的想法。有没有夸大先不管，但普林斯顿人之间的竞争的确很大，历史上经常有两篇研究同样的问题的文章一起出现。
威顿在后来的一系列发展中起到了关键作用。我们前面提到，他在1982年至1983年之间已非常注意弦论的发展，因为他意识到其它的统一途径基本上行不通，而弦论中的弦的激发态中自动含有引力子的事实对他来说类似于一种启示，他后来屡次提到。在格林和史瓦兹发现反常抵消的前后，他已在普林斯顿公开和私下做了很多推动的事情。据当时在普林斯顿做学生的克来巴洛夫(I. Klebanov) 后来说，普林斯顿上上下下，除了他之外，都在学习弦论，而动作比较快的弦乐组合已有了杂化弦的想法。
这个想法在物理上很简单，而数学则需要用到当时大多数研究场论的人不熟悉的相对比较新的东西。物理上，人们利用一个早已知道的事实，即弦的世界面上的两种模，向右运动和向左运动的模是独立的。我们在谈两维中的反常已谈过它们，这里，由于所有平坦空间的维度在世界面上是无质量的玻色场，右手模和左手模没有耦合，所以形式上它们可以被看作是独立的场，或自由度。同样，世界面上的费米场的右手模和左手模也是独立的。取10维超弦中的右手模，加上26维玻色弦的左手模，我们就得到杂化弦。
26维左手模中的10个维度和10维超弦的右手模中的玻色场共同形成物理的10维时空。换言之，这10维时空没有紧化，这样右手模和左手合并起来含有10空间中的引力场，所以这10维空间是真正的物理空间，因为只有当几何 (其激发态是引力子)是可变的时候才是真正意义上的时空。左手玻色场剩下来的16维没有相应的右手模，从而不可能有相应的引力场，这样这16维一旦固定下来，就不会发生动力学变化，从而不能被看着是空间，这16维可以类比于量子场论中的内秉空间，它们的存在仅仅引入新的自由度而已。
稍早，一些其他人一猜测E(8)XE(8) 超弦可以由26维的玻色弦获得，如芝加哥大学富润 (P. G. O. Freund)。富润也知道应当用到一些新的数学，就是我们马上要提到的仿代数 (affine algebra) 的顶点算子表示，但他没能有效的将右手和左手分开，所以没有得到大家后来熟知的杂化弦。
现在，仅仅是为了粗糙地理解什么是杂化弦，我们需要引进一些不熟悉的物理和数学概念，这些和环面有关。我们知道，一维的圆可以叫做一维环面，两维环面大家最熟悉，象一个轮胎的表面。同理，我们可以想象高维的环面。现在假定一些物理的空间是环面，弦在这个环面上运动。再假定这个环面是平坦的，没有曲率，但这个环面可以有不同的形状。比如一个两维环面，可以通过黏结一个平行四边形的两对对边得到，所以这个环面可以有不同的形状。用比较数学化的语言，平行四边形的四个定点可以看作一个两维晶格上的点，而一个平行四边形本身可以看作这个晶格的一个基本格子。最后，环面通过把所有平面上的基本格子等价而得到的，这样，环面就是一种最简单的平面陪集，其等价群就是晶格所代表的群。同样，我们可以由一个高维的平坦空间出发，加上一个高维的晶格作为等价群，就可以获得任何想要得到的平坦的高维环面。
当弦在环面上运动时，它可以有振动，这一般叫做激发，而非激发的状态有两组物理量子数来决定，这些通常叫做零模。一组零模就是整个弦的沿环面的动量，而另一组是弦在环面上各个方向缠绕的次数，即绕数。这两组量子很重要，后面谈T 对偶时要起很大作用。对于一个粒子来说，最简单的波函数是平面波，其中的量子数是动量。对于一个弦来说，最简单的波函数也是平面波，但当弦有绕数时，我们要推广这个平面波。这个推广很简单，就是把平面波中的座标用弦的整个座标取代，将右手模和左手模分开，就有了两组动量，而这两组动量是弦的动量和绕数的线性组合。这个平面波波函数当作世界面上的函数看待时，就叫顶点算子。
并不是所有动量和所有绕数都是允许的。我们知道，动量在量子力学中对偶于座标，由于环面上的周期性，动量必须量子化。结论很简单，就是动量也必须处在一个晶格上，这个晶格对偶于用来构造环面的晶格。当然饶数是自动量子化的，很明显，绕数处在原来的晶格上。
现在，为了构造杂化弦，我们要求去掉16维环面上的右手部份，这就要求右手的动量为零，也就是一些总动量和饶数的线性组合为零。这对原来的晶格以及它的对偶晶格加了一些限制条件。弦的一次量子化又要求弦的动量在壳条件，从顶点算子的角度来说，这个算子的左手反常权必须是1，这说明晶格上的一些基本长度是偶整数，从而晶格上的任一点的长度都是偶整数。所有这些条件加起来，我们基本上得到一个结论，就是，这个16维的晶格是一个偶的并且是自对偶的晶格 (even self-dual lattice)。
巧的是，在16维中，只有两个满足这些条件的晶格，这两个晶格分别对应于两个群，就是SO(32) 和E(8)XE(8)，晶格恰巧是群的极大环面的晶格，也就是说，这些群每个都有一个极大的平坦环面，维数是16，用来构造这个环面的晶格满足我们上述的条件。这样，在晶格上取长度恰为2的点来构造顶点算子，这些算子再和右手模结合，得到一些完整的算子，这些算子对应于10维时空中的规范场的激发态。另一个巧合是，每个16维的晶格上恰有496个长度为2的点，和应有的规范场的个数相等。
证明这些顶点算子满足相应的李代数要用到在当时来说是相当新的数学，就是仿代数的顶点算子表示。这个数学分支有一个有趣的历史，在数学方面，先是勒泊斯基 (J. Lepowsky) 和威尔逊 (R. Wilson)开始研究，由富兰克 ( I. B. Frenkel)、凯兹 (V. G. Kac) 等人完成，再由哥达德 (P. Goddard) 和奥立弗 (D. Olive) 用物理的语言在84年左右表达出来。所有这些工作早年有物理学家研究过特例，如海尔朋(M. B. Halpern)。在一次革命之后，产生了很多相关工作，当然威顿的对所谓外斯－朱米诺－威顿模型的研究极大推广了这些工作的物理意义，对后来的发展有很大的影响。
杂化弦的右手部份是10维超弦的一半，所以由此而来的超对称也是10维超弦的一半，就是N 等于1的10维超对称。当群为SO(32)时，零质量场的内容和型－I 超弦没有任何区别。这个重要特征并没有引起任何人的重视，因为很自然地人们以为这是两种完全不同的理论。杂化弦是一个纯闭弦的理论，而型－I 弦含有不可定向的开弦和闭弦。
杂化弦左手部份的在环面上的16个玻色子又可以用32个费米子取代，这和两维中(世界面)的“费米化”有关。我们不谈费米化，只简单地介绍一下杂化弦在费米表示下的构造。32个费米子，可以分为两部份，对每部份独立的加周期或反周期条件(即雷芒分支，或内吾－史瓦兹分支)。在壳条件表明，只有两种可能才能得到自洽的谱，就是要么所有32个费米场满足同样的条件，这样得到群为SO(32)的杂化弦；要么32个费米子分成每组16个费米子的两个组，独立地加周期条件。可以很快地得到结论，必须用格舍奥投射(见第四章第四节或更早)，这样投射的结果是在第一个激发上恰有496个态，这对应于E(8)XE(8)的规范场。可以证明，不能将32个费米子拆成更多的组。费米子表示的好处是不需要仿代数的顶点算子知识，这也是它的坏处，因李代数的结构不清楚。费米子表示也说明，16维新的空间的确是内秉空间。
下期待续
《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第5期
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