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2002年第6期 总第12期
2002年6月1日
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弦论通俗演义（十四）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第五章 第一次革命
（第一节）
超弦在1984年之前是少数几个人的游戏。在西方，几乎所有研究超弦的人或多或少和史瓦兹有关，不是他的合作者，就是他的学生，所以可以毫不夸张地说超弦是史瓦兹和他的朋友们的游戏。米谷民明虽然在1974年也建议用弦论来描述量子引力，他也摆脱不了潮流的巨大影响，除了在1975、1976两年中还在研究一点弦论外，基本上去研究规范理论和大N展开去了。唯一例外的是1983年中的威顿。他在83年的谢耳特岛 (Shelter Island)的第二次会议上(第一次是二战之后开的)讲卡鲁查－克来茵理论中能否得到在4维中带有手征的费米子问题，得到否定的答案。这就基本否定了仅在卡鲁查－克来茵理论中得到粒子物理的标准模型。他后来说，他本打算谈弦论的，尽管他到那时为止还没有研究过弦论。因为那次已有人讲了弦论，他才打消念头。应当说威顿是从史瓦兹在82年发表的一篇综述里学到弦论的。卡鲁查－克来茵理论的失败和弦论的可能的有限性使得威顿极其重视弦论，这大概是为什么继格林－史瓦兹84年的第一次革命的第一篇文章，他能和其他三位写出第二篇文章的原因。
我们在本章中侧重讲1984～1985年间的第一次弦论革命的三篇最重要的文章，依次为：1、格林－史瓦兹的关于型－I 弦理论中当规范群为SO(32) 时规范反常的抵消，以及后来的关于这个弦理论有限的证明；2、普林斯顿的弦乐四重奏组合关于杂化弦构造的文章。3、威顿等四人的卡拉比－丘 (Calabi-Yau) 紧化的文章，该文指出当型－ I 弦或杂化弦紧化在一个6维的卡拉比－丘流形上时，得到的四维理论具有N 等于1的超对称，以及三代粒子；最后，再谈一谈其它一些重要的进展。
先谈谈反常。这是量子场论中的一个重要话题，但也是比较难以用直观的图像来解释的话题。这里试试能不能不用公式把基本道理讲出来。最好的出发点是一个两维的量子场论，其中有费米场，也有规范场。先谈费米场，这些我们在介绍弦的世界面上的理论已遇到过。和一个标量场一样，满足两维运动方程的无质量费米场有两个独立的解，也就是向右传播的波和向左传播的波。这种传播的方向性又和费米场的手征有关。如果我们不明白何谓手征性，我们暂时就用传播的方向性代替：向右模和向左模。假定这些模都是复的，那么这个简单的理论有两种对称性。一种对称性是说，将两个模同时用一个相因子转动，所得的结果不变，这种对称性不区分向右或向左，所以叫做矢量对称性(下面就谈到为何用矢量这个名字)。另一种对称性是向右模和向左莫的转动因子恰恰相反，这个变换区别方向性，所以叫做赝矢对称性。
现在再谈两维世界中的规范场。最简单的规范场如同电磁场，有两个分量，即是一个矢量。在两维中，只有一个场强，相当于沿着空间方向的电场，没有磁场的原因是因为只有一个空间方向。现在如果我们要求上面谈到的矢量对称性是一个规范对称性，也就是一个局域对称性，我们就必须引进一个规范场与之耦合，这个场是矢量，所以相应的对称性叫矢量对称性。在经典的意义上，上面谈到的赝矢对称性还是一个好的整体对称性，因为运动方程在这个变换下不变。
奇怪的是，当我们有一个不为零的电场场强时，赝矢对称性不再是一个好的量子对称性。也就是说，这个对称性对应的荷在量子力学中不再是守恒的。事实上，我们可以把矢量对称性和赝矢对称性重新归为向右模的转动对称性和向左模的转动对称性，每个对称性都有对应的荷，即向右运动的电荷和向左运动的电荷。现在，我们说的反常是，虽然在经典上这两个荷分别是守恒的，在量子力学中不再是分别守恒的。只有它们的和是守恒的，这是矢量对称性，而它们的差不再是守恒的，也就是说，赝矢对称性在量子的层次上受到破坏。
这个反常很久前就为斯坦伯格 (Steinberger) 和薛温格注意到，在两维中也有比较直观的解释。考虑沿着空间方向有一个电场，电场在一维空间中当然有明显的指向。在量子场论中，费米场往往有所谓的狄拉克负能海，在没有电场时，这个负能海的能级对于向右模和向左模来说没有区别。当有电场时，就有区别了，因为电场有方向性。这样，向右模和向左模的填充能海的方式就不同，从而对应的真空就不同。当然我们可以避开狄拉克负能海来解释这个问题，因这个概念不适用于玻色子。这样，向右模和向左模的电荷不在是分别守恒的。
这种反常在我们目前讨论的理论中并没有什么问题，相反，它有很多应用，如量子霍尔效应。但如果我们分别对向右模和向左模引进规范场，问题就来了。规范场存在本身要求对应的荷是守恒的，但这些荷不是分别守恒的，所以，比方说，向右荷对应的规范理论本身在量子力学中就没有办法定义。对应于总荷，我们可以定义一个规范理论，这就是上面谈的矢量规范理论，而赝矢规范理论不存在。如果一个两维的理论本身只有向右模，这个理论就不能有规范对称性。
在高维中，虽然向右或向左已不是有定义的概念，但在偶数维中存在手征这个概念，从而反常的问题也存在。在4维中，最早证明反常存在的是爱德勒 (Stephen L. Adler)，贝尔 (John Bell) 和贾克夫 (RomanJakiew)。他们的文章都是在1969年发表的，内容是通常的量子电动力学，其中一个费米子带有手征性。同样，手征对称性，或即赝矢荷不再守恒，不守恒的量现在不是与电场成正比，而是与电场和磁场的内积成正比。
后来的发展表明，反常现象在所有的偶数维都存在。不仅是我们上面介绍的阿贝尔手征反常，而是所有可能的非阿贝尔手征反常都存在。反常通常可以用一个拓扑不变量来表示，在两维中，就是电场，这在数学中叫第一陈类；在4维中，是电场和磁场的内积，数学上叫第二陈类。有一个很简单的特徵，所有这些拓扑不变量都可以表达成一个全微分，这样他们的时空积分只与一个流在边界上的行为有关，而与规范场在时空内的行为无关。这些流其实是一种微分几何里称做形式的东西，本身并不是规范不变的，在4维中，特定的名字是陈－西蒙斯形式 (Chern-Simons)。
除了规范场外，引力场的存在也会引起反常。引力场的反常发现比较晚，是1983年的事。发现晚的原因是，引力反常并不是在所有偶数维中都可能。最简单的引力反常发生在两维，下面就是6维，接着是10维，也就是说每隔4个维度才会有，4维中没有引力反常。系统研究引力反常的文章是1983年中阿瓦瑞智－高密 (Luis Alvarez-Gaume) 和威顿的文章，他们也研究了10维中的引力反常，可见威顿本人已很重视弦论了。1983年可以称作反常年，在阿瓦瑞智－高密和威顿之前，已有几组不同的人研究了高维中的规范反常，包括朱米诺、吴咏时和徐一鸿(A. Zee)。反常的非常漂亮的几何解释就是这个时候发现的，所有这些是格林－史瓦兹论证型－I 弦论中没有规范反常和引力反常的重要出发点。
我们已经强调过，如果我们从一个不含手征场的高维理论出发，威顿已证明通过紧化不可能得到一个低维的带有手征场的理论，从而也不可能得到粒子理论中的标准模型。这样，我们只能从一个本来就带有手征场的高维理论出发。所有超引力中，含有最大超对称的是10时空中的IIB 型超引力。这个理论是史瓦兹通过10维IIB 型超弦理论的低能极限发现的，他与格林在83年证明这个理论没有引力反常。但是，10维IIB 型超弦理论不含任何规范场，而要通过紧化得到标准模型的规范场，10维又不够。
这样就剩下型－I 超弦理论。这个理论的低能极限含有N 等于1的10维超引力，其中含有带手征的费米场；不但如此，理论中还含有N 等于1的10维超杨－米尔斯理论，规范群是我们上一节中提到的三个系列，同样，其中的费米场是带有手征的。现在的问题是，在这个手征理论中，各种反常是否可以完全抵消，从而理论本身是自洽的？
这个问题的回答比以前所有的反常抵消都要微妙，因为理论中不但存在引力反常和规范反常，也存在混合反常，即有些反常项同时与引力场和规范场有关。不但如此，理论中的开弦态和闭弦态有混合，比如说，当对规范场做规范变换时，闭弦态之一的反对称张量场也随之而变，完全不同于直觉所告诉我们的。感谢这个特性，格林－史瓦兹证明，所有单圈的反常项，如果不是互相抵消，都可以通过在树图中加入与反对称张量场有关的项来抵消。而这种抵消要求规范群是SO(32)，无论是规范反常也好，还是引力反常或混合反常，都要求这个群。这的确是一个几乎是不可思议的结果，因为太多的系数恰恰在这个群的情况下成为零。
格林－史瓦兹并且注意到，另一个群也满足这个要求，就是E(8)乘E(8)群。这个群还不能用开弦来实现，但他们两人已预言了这个弦理论的存在，后来的杂化弦就实现了这个预言。有趣的是，有好几个人都建议所有反常在这个群的情况下抵消，包括法国人射瑞－米格 (J. Thierry-Mieg)。后者不至一次地向别人夸耀他曾向格林－史瓦兹建议这个群。
格林－史瓦兹关于反常抵消的讨论中一个重要特点是开弦的反常与闭弦的树图的规范变换的抵消，这种抵消后来统称为格林－史瓦兹机制。这可能是第一次，弦论中经典项与量子项的混合。不久，他们两人又证明了过去以为是发散的单圈图，在群为SO(32)时，也互相抵消，这说明型－I 弦论本身是有限的。
格林－史瓦兹的发现启动了弦论的第一次革命，之所以有这种情况，不外乎两个原因：第一，弦论第一次表明自洽的理论的个数很少，不在是无限多个；第二，弦论中有可能实现标准模型，这是人们在研究过很多其它超对称理论后剩下的不多的可能。
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《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第5期
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