《三思科学》电子杂志
2002年第2期  总第8期
2002年2月1日

目　　录
封面

封面故事
[九歌]鸟类漫话——猛禽

编者的话
[柯南]蓝猫还是“烂猫”？

新闻
[李淼]地球引力场中中子的量子态
[春上莱茵早]最近的梦为何总那么远
[春上莱茵早]赚钱？拿出你的诚意来
[碧声]小猪，比以前更乖
[碧声]绕开伦理障碍
[柯南]死刑：再次推迟

求知
[石青]接触地外文明
[沈建其]百年量子
[武强]超光速存在吗？
[刘华杰]虹霓有别
[李淼]弦论通俗演义(三)
　　　弦论通俗演义(四)
　　　弦论通俗演义(五)
[异调]联合起来，变得虚弱(下)
[韩雪涛]三环亲和数链是否存在
[小江]癌症是什么
[Aha]软物质：熵统治的世界
[小茜]吃饭这事儿
[落雪]干扰————RNAi漫谈
[九歌]植物能源的前景

译述
科学美国人：星际之流
自然：印度在线
新科学家：光速

故事
[佳肴]一只龙蜥和一碗佳肴的故事

观点
[柯南]魔鬼出没的书店
[向东]我们的教育怎么了
[马庆池]为中国科学普及事业不
　　　景气而疾首

历史
[异调]ENIGMA的兴亡（续完）

书评
[一笑]《惊人的假说——灵魂的
　　　科学探索》读书笔记(三)

辨伪
[方舟子]达尔文的眼睛

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　　　联合起来，变得虚弱（下）

　　　　　　　　　　　 异调


　　　　　　　四、终极例子，Monnier悖论

　　对于Levin悖论和Patarin悖论，我们已经用选择公理，和滥用零概
率事件把它们造成的矛盾都推脱掉了，也就是说，我们因为这些事情
在现实中是不能发生的这样的“实际”理由，来解释理论上的矛盾。
这看起来无论如何都象鸵鸟的作为，特别是，现在有人举出了一个实
际上可以办到的例子。

　　Samuel Monnier发明了这样一个赌局。首先赌博的方法是用抛硬
币的方法来随机选取一个自然数：接连不断地抛一枚均匀的硬币（就
是说得到正面朝上和反面朝上的可能性都是1/2），如果第一次就是正
面，那么这个自然数就是1；如果第一次结果是反面，那么继续抛硬币，
如果第二次的结果是正面，那么这个自然数就是2；如果第二次结果是
反面，那么继续抛硬币……总而言之，如果抛到了反面就继续抛，如
果抛到了正面，就把抛硬币的次数记为结果n。

　　我们很容易就知道，用这样选择自然数的方法，得到1的可能性是
1/2，得到2的可能性是1/4，……，得到n的可能性是1/2n。

　　现在有以下的赌局：
赌局P(1)，如果得到的数是1，那么你输1元；如果是2，那么你赢3元；
如果是其他数，就不输不赢。
赌局P(2)，如果得到的数是2，那么你输4元；如果是3，那么你赢9元；
如果是其他数，就不输不赢。
赌局P(3)，如果得到的数是3，那么你输10元；如果是4，那么你赢27
元；如果是其他数，就不输不赢。
……
赌局P(n)，如果得到的数是n，那么你输3n-1+1元；如果是n+1，那么
你赢3n元；如果是其他数，就不输不赢。（n＞1）
……

　　很明显，这里每个赌局是可以实际执行的，而且赢和输都不是零
概率事件。而且每个赌局对你来说都是有利的。比如说第n个赌局：
我们知道抛到n的可能性是1/2n，而抛到n+1的可能性是1/2n+1，所以这
个赌局你赢的期望是
　　-(3n-1+1)*1/2n+3n*1/2n+1=(3n-2*(3n-1+1))/2n+1=(3n-1-2)/2n+1元
但是当n＞1时，3n＞2*(3n-1+1)，所以这个期望一定是正的。

　　但是如果你把所有这些对你有利的赌局一起接受了，会怎么样呢？
如果抛硬币得到的结果是1，那么你什么赌局都没赢，却输了赌局P(1)，
输1元钱；如果抛硬币得到的结果是2，那么你赢了赌局P(1)，得到3元，
却输了赌局P(2)，输4元钱，总的来说输1元；……；如果抛硬币得到
的结果是n，那么你赢了赌局P(n-1)，得到3n元，却输了赌局P(n)，输
3n+1元钱，总的来说输1元；……于是，无论抛出什么数来，你每次都
会输掉1元！

　　这个排除了选择公理，零概率事件的“纯化”Levin悖论非常令人
吃惊，通过这个终极例子，我们终于发现了造成这种“联合起来，变
得虚弱”悖论的根本原因。


五、加法的结果……不仅取决于加式中的数，也取决于数的顺序！

　　在第二节中我们谈到过Levin悖论的可能原因，其中第二条的理由
是，“所以如果一个复式赌局里每一局都对你有利，那么整个复式赌
局对你有利”这条“复式原则”对于有无限个赌局的复式赌局很可能
是不成立的，正是此理！在第二节中我们还不清楚为什么，而由于
Monnier悖论，我们将其原因看得一清二楚。

　　如果我们构造一个矩阵，把Monnier悖论中的每个赌局作为纵坐标，
而把抛得的结果作为横坐标，在相应位置填入在此赌局中抛到此结果
赢得（或输去）的钱数乘以抛得此结果的概率：


    
1
   
2
  
3
4
…
n
n+1
…
赌局
的期望
P(1)
-1/2
3/4
0
0
…
0
0
…
1/4
P(2)
0
-4/4
9/8
0
…
0
0
…
1/8
P(3)
0
0
-10/8
27/16
…
0
0
…
7/16
P(4)
0
0
0
-28/16
…
0
0
…
25/32
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
P(n)
0
0
0
0
…
-(3n-1+1)/2n
3n/2n+1
…
(3n-1-2)/2n+1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
按列相加
-1/2
-1/4
-1/8
-1/16
…
-1/2n
-1/2n+1
…
抛到数n
时赢的钱
-1
-1
-1
-1
…
-1
-1
…


　　我们发现，这个矩阵的特点是，如果先把每行的数值加起来（就
是先计算每局的期望），那么每个数都是正的，但是如果先把每列的
数值加起来，数值却是负的！当我们只接受某一个赌局时，每局平均
赢的钱，就是表示该赌局的那一行的期望，它等于把此行的所有数加
起来的值，这个值是正的，所以这一局对我们有利。但是如果我们接
受了所有赌局，我们首先要计算的是抛到某个数字时我们能赢的钱，
这个数值是把上面矩阵中的值先按列加，再除以抛到这个数值的概率，
于是它就是负的！正是这种奇怪的矩阵，使我们陷入了“每个赌局都
有利，可是接受所有的赌局就输钱”的困境。

　　在计算无穷和时，我们一定要注意到这一点，如果在被加起来的
项中，有无穷多的项是正的，也有无穷多的项是负的，那么这个无穷
和的结果不仅仅取决于加式中的数，也取决于这些数在加式中的顺序。
就象上面这个矩阵所说明的，如果我们先按行加，那么所得结果是正
的，如果先按列加，所得结果就是负的，虽然参加加法的都是同一个
矩阵中的数。不仅对于矩阵中的数的和，对一般的级数也是如此。牛
顿时代的数学家们已经开始注意到对于象1-1+1-1+1-1+……这样的我们
现在称为发散级数的无穷和，如果计算加法的次序不同，就会有不同
的结果：
　　(1-1)+(1-1)+(1-1)+……=0
　　1-((1-1)+(1-1)+(1-1)+……)=1
事实上，对于象1-1/2+1/3-1/4+1/5-……这样的级数，数学分析中有定理
保证，任意给定一个实数，我们必定能够重新组织这个级数中加法的
顺序（加式中的数字仍旧是1，-1/2，1/3，……等等，一个不多，一个
不少），使得最后级数的和为此实数。换句话说，数字仍旧是那些数
字，只要适当地换一换加起来的顺序，我们可以爱得到什么结果就得
到什么结果。

　　Levin悖论和Patarin悖论同样也是由此原因引起，只是此时的矩阵
的行与列的数目都为不可数无穷多，它们各自对应的矩阵也具有同样
的特点：当按行相加时，每行的结果都是正数，可是按列相加时，每
列的结果却是负数。

　　一旦我们搞清了这一点，就可以创造出无数和Monnier悖论类似的
悖论来——只要找到一个合适的矩阵就可以了。

　　最简单的“每行加起来为正，每列加起来为负”的矩阵可能是下
面这一个：

-1
2
0
0
0
…
0
-3
4
0
0
…
0
0
-5
6
0
…
0
0
0
-7
8
…
…
…
…
…
…
…

如果考虑到每一列上的1/2n概率因子，把上面的矩阵写成以下形式，
我们就得到了一个类似于Monnier矩阵的关于某个赌局的矩阵：

    
1
   
2
  
3
4
…
n
n+1
…
赌局
的
期望
P(1)
-2/2
8/4
0
0
…
0
0
…
1
P(2)
0
-12/4
32/8
0
…
0
0
…
1
P(3)
0
0
-40/8
96/16
…
0
0
…
1
P(4)
0
0
0
-112/16
…
0
0
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
P(n)
0
0
0
0
…
-(2n-1)2n/2n
2n2n+1/2n+1
…
1
…
…
…
…
…
…
…
-(2n+1)2n+1/2n+1
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
按列相加
-1
-1
-1
-1
…
-1
-1
…
抛到数n
时赢的钱
-2
-4
-8
-16
…
-2n
-2n+1
…

从中我们推出这个赌局是这样的（抛硬币得到数字的方法同Monnier
悖论）：
P(1)：如果抛出1，输2元；如果抛出2，赢8元。
P(2)：如果抛出2，输12元；如果抛出3，赢32元。
……
P(n)：如果抛出n，输(2n-1)2n元；如果抛出n+1，赢2n2n+1元。
每个单独赌局的期望都是1元，但是如果你接受了所有赌局的话，抛出
n你就输2n元。
这个赌局被叫作“疯狂会计师”赌局。

　　下面的“疯狂赌徒”赌局我只给出矩阵，由读者去补充具体的赌
局：

    
1
   
2
  
3
4
…
n
n+1
…
赌局
的
期望
P(1)
-1/2
6/4
0
0
…
0
0
…
1
P(2)
0
-7/4
22/8
0
…
0
0
…
1
P(3)
0
0
-23/8
62/16
…
0
0
…
1
P(4)
0
0
0
-63/16
…
0
0
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
P(n)
0
0
0
0
…
-n+1/2n
n+1-2/2n+1
…
1
…
…
…
…
…
…
…
-(n+1)+1/2n+1
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
按列相加
-1/2
-1/4
-1/8
-1/16
…
-1/2n
-1/2n+1
…
抛到数n
时赢的钱
-1
-1
-1
-1
…
-1
-1
…

注意到这里每个单独赌局的期望都是1元，可是全部接受每次反而要输
掉1元。

最后一个例子是很有意思的Ludovic Galant赌局：
P(1)：如果抛出1赢3元，抛出其他数输1元。
P(2)：如果抛出2赢7元，抛出其他数输1元。
P(3)：如果抛出3赢15元，抛出其他数输1元。
……
P(n)：如果抛出n赢2n+1-1元，抛出其他数输1元。
它的矩阵是：

    
1
   
2
  
3
4
5
…
赌局的期望
P(1)
3/2
-1/4
-1/8
-1/16
-1/32
…
1
P(2)
-1/2
7/4
-1/8
-1/16
-1/32
…
1
P(3)
-1/2
-1/4
15/8
-1/16
-1/32
…
1
P(4)
-1/2
-1/4
-1/8
31/16
-1/32
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
按列相加
-∞
-∞
-∞
-∞
-∞
…
抛到数n
时赢的钱
-∞
-∞
-∞
-∞
-∞
…

注意到这里每个单独赌局的期望都是1元，可是全部接受每次会输掉无
穷的钱！


　　　　　　　　　　六、诚实的人有福了

　　在前面讲到的这些赌局中，我们注意到，当n越大时，P(n)中的输
赢数字也越大，当n趋向无穷大时，输赢数字也趋向于无穷大。而一个
诚实的人，是不应该进行万一输了，他付不起赌资的赌局的，即便他
赢的可能性很大。如果同时接受所有这无穷多个赌局，那么这意味着
冒输掉任意大的赌注的危险。所以诚实的人即使想赌博，也只会接受
其中有限个赌局。但是如果赌局数目有限的话，正如在本文开头所说，
“复式原则”成立，如果每一个赌局都有利，那么同时接受这有限多
个赌局也有利。在这里我们发现，和政治家所玩的游戏不同，复式赌
局使得诚实反而保护了诚实人的利益……

　　在本文开头我提到一位离网隐去不少时候的朋友，他是网易广州
社区自然科学版原版主云胡不归，在2000年的八月份，我们打过一个
赌，赌一位声称证明出了P=NP的江湖数学家是否真证出了这个著名定
理。我对这种事情只有亿分之一的信任度，而云胡兄却更干脆，一点
都不信。于是我们打个一个一比一亿的赌——如果一年后这个结果被
数学界承认了，云胡得给我一亿元，如果一年后这个结果还没有被数
学界承认，我要给云胡一元钱。根据上面的讨论，在这个赌博里云胡
兄不是个诚实的人——除非他真拿得出一亿元来，不过他似乎不象是
个亿万富翁。

　　咳，最后搞得还是我最不诚实，一年以后，我再也没有听说那个
江湖数学家的消息——如果真证出P=NP来，这么大的消息我不至于不
知道，而云胡兄已经不见踪影了——所以直到现在我还没有付这输掉
的一元钱。



　　　上期连载内容·三思科学杂志2002年第1期