 《三思科学》电子杂志
2002年第2期 总第8期
2002年2月1日
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[李淼]地球引力场中中子的量子态
[春上莱茵早]最近的梦为何总那么远
[春上莱茵早]赚钱？拿出你的诚意来
[碧声]小猪，比以前更乖
[碧声]绕开伦理障碍
[柯南]死刑：再次推迟
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[石青]接触地外文明
[沈建其]百年量子
[武强]超光速存在吗？
[刘华杰]虹霓有别
[李淼]弦论通俗演义(三)
弦论通俗演义(四)
弦论通俗演义(五)
[异调]联合起来，变得虚弱(下)
[韩雪涛]三环亲和数链是否存在
[小江]癌症是什么
[Aha]软物质：熵统治的世界
[小茜]吃饭这事儿
[落雪]干扰————RNAi漫谈
[九歌]植物能源的前景
译述
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[柯南]魔鬼出没的书店
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[异调]ENIGMA的兴亡（续完）
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弦论通俗演义（五）
 李淼
中国科学院理论物理研究所
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第二章 经典的极致
（第三节）
当贝肯斯坦 ( Jacob D. Bekenstein ) 于1972年发表黑洞与热力学
关系的时候，他还是普林斯顿大学的研究生。在1973年发表于物理
评论 ( Physical Reviews D ) 的文章中，他明确指出，黑洞的熵应与
它的视界面积成正比，这个正比系数是普朗克长度平方的倒数。普
朗克长度平方又与牛顿引力常数和普朗克常数成正比，所以黑洞熵
的起源既与引力有关，又与量子有关。在贝肯斯坦之前，所有与黑
洞有关的研究都是经典的，贝肯斯坦改变了一切。
贝肯斯坦现在在以色列的希伯来大学 (Hebrew University) 工作。
他是那种所谓的单篇工作物理学家，在1973年的工作之后，一直在
做与黑洞的量子物理有关的工作。除了黑洞熵之外，他另一个有名
的工作是熵与能量的关系，叫贝肯斯坦上限，我们这里不打算介绍
它。有人想出一种说法来贬低那种一生只在一个方向上做研究的人，
叫做：他还在改进和抛光他的博士论文。贝肯斯坦的工作决不能作
如是观，他是那种不断有新的物理想法的人。他的所有工作中最困
难的数学是积分，这并不说明他的文章易读——他的物理思想要求
你有足够的直觉。前段时期有人在这个论坛（编者注：即超弦学友
论坛，见文末链接）上说泡耳钦斯基的文章难以理解，这说明了一
个问题，那就是我们要训练自己的物理直观，而不能满足于理解那
些有明确数学定义的东西。
黑洞可能的存在是很容易理解的，拉普拉斯早就作过这样的猜
测。在牛顿引力中，如果一个物体的动能不足以用来克服引力场中
的势能，这个物体就无法逃逸出去。如果光也不能逃逸出去，对一
个远处的观察者来说，产生这个引力场的物体就是黑的。以拉普拉
斯时代对光的理解，光的动能正比于光速的平方，而光的势能由牛
顿引力给出，这样，如果径向距离小于 2GM/c2，势能的绝对值就
大于光的动能，光就无法逃逸。如果一个引力系统的半径小这个值，
这个系统就成为黑洞。这个特别的，与质量和牛顿引力常数成正比
的长度叫做史瓦兹希尔德半径，史瓦兹希尔德在他去世前三个月在
他的第二篇关于广义相对论的文章中讨论了这个半径。
一个最简单的黑洞模型
虽然拉普拉斯得到正确的结果，他的方法不正确。正确的方法
要用到爱因斯坦的光子的能量公式，光子的能量不能认为是正比于
光速的平方。光子的有效质量则为能量除以光速的平方，这样，这
个现代的拉普拉斯计算用到两个爱因斯坦最为著名的结果。普朗克
常数最终消掉，虽然我们在中间过程中用到它。另一个等价的方法
是用引力红移的公式，史瓦兹希尔德半径是引力红移成为无限大的
地方。有趣的是，爱因斯坦当初讨论引力红移时有意避开用他的光
量子公式。爱因斯坦竭力避免把他的一个大胆想法和另一个一个大
胆想法搅在一起。
牛顿理论中的黑洞和爱因斯坦理论中的黑洞除了都有视界外，
其它并无共同之处。在牛顿的黑洞中，原点是一个奇点，但这个奇
点与经典电子的原点作为库伦势的奇点在本质上并无不同。在爱因
斯坦理论的黑洞中，径向座标在视界上发生本质的变化。在视界之
外，径向座标是类空的；在视界之内，径向座标是类时的，所以光
锥在视界上才可能变为向内。“座标原点”的奇点是在时间上的一
个奇点，经过塌缩的物质都撞到之这个奇点上，对于它们来说，时
间完全终结了。所以人们说，黑洞的奇点是类空的，很像大暴炸宇
宙中的奇点，只不过在黑洞中这个奇点是时间的终结，而大暴炸宇
宙中的奇点是时间的开始。
黑洞的艺术想象图。摘自http://www.ifa.hawaii.edu/users/cowie/chandra/pict_2.html
虽然黑洞的存在在理想实验中很容易实现，要证明它们在现实
世界中存在不是一件很容易的事。钱德拉塞卡(Subramanyan Chandrasekhar)
1934年的计算表明，当一个引力系统有足够大的质量时，自然界不
存在其它相互作用能阻止引力塌缩。这个结果要经过许多年才能被
大家接受，部份原因是爱丁顿 (Sir Arthur Eddington) 从一开始就非常
反对这个结论。对于白矮星来说，当质量大于某个质量，不稳定性
就会发生，这个质量极限叫做钱德拉塞卡极限。中子星相应的极限
叫做奥本海默－沃尔可夫极限 (Oppenheimer-Volkoff)。这些极限都
与太阳的质量相差不远。钱德拉塞卡的物理生涯起始于黑洞也终结
于黑洞，他去世前的最后一本研究著作是关于黑洞的，主要研究黑
洞周围的扰动。他于1982年完成这本书，时年71岁。
钱德拉X射线望远镜拍到的银心照片。据认为那里有一个黑洞。
黑洞的存在是无庸置疑的，我们的银河系的中间就有一个巨大
的黑洞。可以肯定，有十分之一的星系和活动星系核的中心都是黑
洞，这些黑洞的起源还是一个谜。
我们前面说过，贝肯斯坦发现黑洞有一个不为零的熵，根据统
计物理，这说明给定一个黑洞，应该有很多不同的物理态，态数的
对数等于熵。这些态不能用经典物理来解释。事实上，在广义相对
论中可以证明一个所谓的无毛定理，黑洞的状态由少数几个守恒量
完全决定，如质量，角动量和电荷，每一个守恒量对应一个局域对
称性。整体对称性所对应的守恒量，如重子数，在引力塌缩过程中
是不守恒的。贝肯斯坦的熵的起源必须在量子物理中寻找，因为他
的熵公式含有普朗克常数。但这个熵对于普朗克常数来说是非微扰
的，当普朗克常数为零时，黑洞熵是无限大，而不是经典物理中的
零。由此可见，我们不能指望用微扰量子引力来解释黑洞的熵。
在1973年，贝肯斯坦并无量子引力理论可以利用，他是如何得
到他的熵公式的呢？他用的是非常简单的物理直觉。首先，那时有
大量的证据证明在任何物理过程中，如黑洞吸收物质，黑洞和黑洞
碰撞，黑洞视界的面积都不会减小。这个定律很像热力学第二定律，
该定律断言一个封闭系统的熵在任何过程中都不会减少。贝肯斯坦
于是把黑洞视界的面积类比于熵，他并说明为什么熵应正比于面积，
而不是黑洞视界的半径或半径的三次方等等。为了决定熵与面积的
正比系数，他用了非常简单的物理直观。设想我们将黑洞的熵增加
一（这里我们的熵的单位没有量纲，与传统单位相差一个波尔兹曼
常数），这可以通过增加黑洞的质量来达到目的。如果熵与面积成
正比，则熵与质量的平方成正比，因为史瓦兹希尔德半径与质量成
正比。这样，如要将熵增加一，则质量的增加与黑洞的原有质量成
反比，也就是与史瓦兹希尔德半径成反比。现在，如何增加黑洞的
熵呢？我们希望在增加黑洞熵的情形下尽量少地增加黑洞的质量。
光子是最“轻”的粒子，同时由于自旋的存在具有量级为一的熵。
这样，我们可以用向黑洞投入光子的方法来增加黑洞的熵。我们尽
量用带有小能量的光子，但这个能量不可能为零，因为光子如能为
黑洞所吸收它的波长不能大于史瓦兹希尔德半径。所以，当黑洞吸
收光子后，它的质量的增加反比于史瓦兹希尔德半径，这正满足将
黑洞熵增加一的要求。对比两个公式的系数，我们不难得出结论：
黑洞熵与视界面积成正比，正比系数是普朗克长度平方的倒数。
贝肯斯坦的方法不能用来决定黑洞熵公式中的无量纲系数，尽
管贝肯斯坦本人给出一个后来证明是错误的系数。当霍金听到关于
贝肯斯坦的工作的消息时，他表示很大的怀疑。他在此之前做了大
量的关于黑洞的工作，都是在经典广义相对论的框架中，所以有很
多经验或不妨说是成见。类似我们在第一章中提到的威顿之于对偶，
他的怀疑导致他研究黑洞的热力学性质，从而最终导致他发现霍金
蒸发并证明了贝肯斯坦的结果。应当说，1973年当他与巴丁 (James
M. Bardeen) 卡特 (B. Carter) 合写那篇关于黑洞热力学的四定律的文
章时，他是不相信贝肯斯坦的。
不久，他发现了黑洞的量子蒸发，从而证明黑洞是有温度的。
简单地应用热力学第一定律，就可以导出贝肯斯坦的熵公式，并可
以定出公式中的无量纲系数。由于霍金的贡献，人们把黑洞的熵又
叫成贝肯斯坦－霍金熵。霍金的最早结果发表在英国的《自然》杂
志上，数学上更完备的结果后来发表在《数学物理通迅》。在简单
解释霍金蒸发之前，我们不妨提一下关于中文中熵这个字的巧合。
在热力学第一定律的表述中，有一项是能量与温度之比，也就是商，
所以早期翻译者将entropy翻译成熵。黑洞的熵恰恰也是两个量的商，
即视界面积和普朗克长度的平方。
霍金辐射示意图
霍金蒸发很像电场中正负电子对的产生，而比后者多了一点绕
弯 (twist)。在真空中，不停地有虚粒子对产生和湮灭，由于能量守
恒，这些虚粒子对永远不会成为实粒子。如果加上电场，而虚粒子
对带有电荷，正电荷就会沿着电场方向运动，负电荷就会沿着电场
相反的方向运动，虚粒子对逐渐被拉开成为实粒子对。电场越强电
子对的产生几率就越大。现在，引力场对虚粒子对产生同样的作用，
在一对虚粒子对中，一个粒子带有正能量，另一个粒子带有负能量。
在黑洞周围，我们可能得出一个怪异的结论：由于正能被吸引所以
带有正能的粒子掉入黑洞，而带有负能的粒子逃离黑洞，黑洞的质
量变大了。事实是，在视界附近由于引力的作用正能粒子变成负能
粒子，从而可能逃离黑洞，而负能粒子变成正能粒子，从而掉进黑
洞。对于远离黑洞的人来说，黑洞的质量变小了；对于视界内的观
察者来说，掉进黑洞的粒子具有正能量也就是实粒子。黑洞物理就
是这么离奇和不可思义。
霍金蒸发是黑体谱，其温度与史瓦兹希尔德半径成反比，黑洞
越大温度就越小，所以辐射出的粒子的波长大多与史瓦兹希尔德半
径接近（这很像我们上面推导贝肯斯坦熵时用的光子）。当辐射出
的粒子变成实粒子后，它们要克服引力作用到达无限远处，所以黑
体谱被引力场变形成为灰体谱。霍金在《时间简史》中坦承，当他
发现黑洞辐射时，他害怕贝肯斯坦知道后拿来支持他的黑洞熵的想
法。
黑洞的量子性质无疑是广义相对论与量子论结合后给量子引力
提出的最大的挑战。我们虽然可以用霍金蒸发和热力学第一定律推
导出黑洞熵，这并不表明我们已理解了黑洞熵的起源。最近弦论的
发展对理解一些黑洞熵起了很大的作用，但我们还没有能够理解史
瓦兹希尔德黑洞的熵。另外，黑洞蒸发后遗留下来的是一个量子纯
态还是一个混合态，就象黑体谱一样？如果是后者，那我们就不得
不修改量子力学。弦论家们大都认为量子力学不必修改，最近霍金
也改变了他过去的看法加入弦论家的行列。黑洞的量子物理在过去
对弦论的发展起到很大的作用，在将来注定对弦论的发展起到也许
更大的作用。
下期待续
《弦论通俗演义》上期连载内容·三思科学杂志2002年第1期
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