《三思科学》电子杂志
2002年第1期  总第7期
2002年1月1日

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[柯南]侧耳倾听

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[柯南]2001年的故事
[柯南]追寻吉普赛人的身世
[柯南]太空甜点
[碧声]生命之书第三章
[碧声]海怪的传说与现实
[春上莱茵早]希格斯玻色子：
　　　也许我不是天使

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[异调]联合起来，变得虚弱(上)
[逍遥]是是非非拉马克
[九歌]病毒从何而来？
[九歌]生物学性状都是由基因
　　 决定的吗？
[李淼]弦论通俗演义(一)
　　 弦论通俗演义(二)

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自然：业余物候学爱好者初露头角

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[落雪]"李森科学派"真的存在过吗?
[小茜]浅谈"安乐死"

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[异调]ENIGMA的兴亡(三下)
[小江]肝脏移植简史

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[一笑]《惊人的假说——灵魂
　　 的科学探索》读书笔记(二)

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三思言论集
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　　　　　联合起来，变得虚弱（上）

　　　　　　　　　　　 异调


　　不要怪我犯哗众取宠的毛病，这个题目不是我取的，这是法国著
名的数学科普作家Jean-Paul Delahaye在2001年12月号《为了科学》，
即《科学美国人》的法文版上发表的一篇文章的题目。我觉得这文章
很有意思，觉得很可以介绍给大家；同时也是表达对一位离网隐去不
少时候的朋友的怀念，他和我打过一个赌，而这篇文章，就是谈打赌
问题的。

　　在9月号的《为了科学》中，Delahay提出了一个奇怪的问题，并
表示他自己也不太清楚毛病出在了什么地方，希望有兴趣的读者能帮
助他找到一个令人满意的答案。要理解他提出的问题，首先让我们来
看一些基本概念。

　　如果有人要和你打赌，比如说抛六面的骰子（当然我们要规定这
个骰子没被灌了某种液体或者有其他的猫腻，我们毕竟是讨论数学问
题，不是真要学好本领去赌博甚至出老千，下面所有的情况都不这么
一一说明了）。如果他建议，抛出1来，他就给你3元，抛出2或3来，
你就给他1元，而其他情况大家不输不赢。那么这个赌你应不应该打
呢？很显然，如果这样的赌多进行几次，那么平均说来，在六次里有
一次抛出1，有两次抛出2或3，有三次抛出其他的数字。所以平均说
来，在六次里你会赢一次3元，输两次1元，于是总的来说你会赢3-2*1=1
元，也就是说平均每次你会赢1/6元。当然偶然某次你会抛到2或3，输
掉1元，但是从长远的角度来看，你会不断地赢钱。所以你应该接受
这样的赌局。

　　在数学上，上面的1/6元被称作这种赌局对你来说的期望，就是把
每种可能发生的情况的概率和在此情况下你赢的钱的数目（如果是输，
那么钱为负）乘起来，再把从所有这些情况下计算出的值加起来。一
般来说，期望是正的，赌局对你就有利，如果是负的，那么就对你不
利。而且如果把参加赌局的所有人的期望都加起来，一定是0，因为总
体看起来，在赌博中钱从一个人那里跑另一个人那里去了，但是不会
凭空多出来或少掉。比如上面那个向你建议赌博的人，他的期望就是
-1/6元，平均一次他会输掉这么多，所以他其实不该向你建议这次赌
博的。

　　现在假设在向你建议以上的赌局的同时，此人还向你建议另一个
赌局：如果抛出2，你就赢2元，如果抛出4，你就输1元，其他情况大
家不赢不输。同样的算法，你会发现这种赌法对你也有利——你的期
望是2*1/6-1*1/6=1/6元。如果把上面的赌局和这个赌局同时玩（也就是
说只抛一次骰子，但是两个赌局都按这次抛骰子的结果来结算输赢），
那么结果如何呢？如果抛出1，那么按第一个赌局你赢3元，按第二赌
局大家不赢不输；如果抛出2，那么按第一个赌局你输1元，按第二赌
局你赢2元，总体说来你赢1元；同样地，总体说来，抛3，你输2元，
其他情况大家不赢不输。所以如果两局同时赌，你的期望就是
3*1/6+1*1/6-2*1/6=1/3元。

　　我们把这样多局同时赌的赌法称为“复式赌局”。比如说在现实
生活中你去买张复式彩票，甚至包局，这就是一种复式赌局。我们可
以证明，复式赌局的期望就是里面每个单局赌局的期望之和，比如上
面的复式赌局的期望就是1/6+1/6=1/3元。所以如果一个复式赌局里每
一局都对你有利，也就是期望都是正的，那么整个复式赌局的期望当
然也就是正的，对你有利，如果有人向你建议这么个赌局，就该毫不
犹豫地接受。这可以被称作“复式原则”。

　　　　　　　　　　　一、Levin悖论

　　可是且慢。数学家Leonid Levin在2001年的《数学报道员》第23期
上提出了一个奇怪的悖论，似乎和“复式原则”相抵触，虽然每一个
的赌局对你都有利，可是如果你同时接受所有的赌局，你就一定会输！

　　为了把他的例子说清楚，我们需要一点实数理论的知识（如果看
不懂这个例子，你可以看后面的例子，后面的例子比较容易看懂）。
考虑所有的实数。有些实数在十进制表示下小数部分的位数是有限的，
比如1.2568，-9.5555等（虽然上面的两个小数也可以写成无限小数的
形式，比如1.2568=1.2657999999……，但是我们规定如果循环节为9，
那么一律写成有限小数的样子，这样每个实数都只有唯一一种表示），
也有一些小数部分的位数是无限的，比如1/3表示成十进制小数就是
0.3333……，或者π=3.14159……。

　　我们可以把实数分成一组一组的，两个实数在同一组，当且仅当
它们的差是有限小数。比方说，所有的有限小数自然都在同一个组里；
π、π+0.25、π-100也都在同一个组里（当然这个组里不止这么几个数）。
很显然，一个实数x只能在一个组里，如果它同时在两个组里，我们从
第一组里拿一个不在第二组里的a，又从第二组里拿一个不在第一组里
的b，那么因为x既在第一组里又在第二组里，所以x-a和x-b都该是有限
小数，但是这么一来(x-a)-(x-b)=b-a也该是有限小数，这就和a、b不在
同一组里矛盾了。

　　于是我们就把所有的实数分成了互不相交的一些组（或者说集合），
每个实数都在而且仅在一个组里。事实上这样分好的组有无限多个。
现在我们从每个组里选一个组长。组长是谁无所谓，只要一个组只有
一个组长，而且组长是组里的成员就可以了。有个组长的好处是我可
以用组长来称呼这个组，比方说我可以说“π所在的那个组”。也不
一定非选π是组长，你完全可以选π+1.2356是组长，那么“π+1.2356
所在的那个组”和“π所在的那个组”其实是同一个组。但是要注意
的是，组长可以随便选，但是一旦组长选好了，就定下来不能变了，
一个组只能有一个组长。

　　现在假设每个组都选好了组长，我们把所有组长的集合记为C，而
把所有有限小数组成的集合记为D（很容易知道，这其实就是一个组）。
现在任何一个实数x都可以写成c+d的形式，这里c是C中一个元素，d是
D中的元素。这样的表达方法是唯一的。事实上，任何一个实数x都属
于某一组，那么假设这个组的组长是c，x就可以写成c+(x-c)，根据组
的定义，x-c属于D。

　　现在我们可以来谈论赌局了。

　　随机地选取一个0和1之间的实数（包括0，不包括1）。这个选法
可以是象幸运轮那样的赌法，只是现在不是一格一格地写着数字了，
而是轮周上的每一点都是一个不同的选择：拿一个周长为1的圆盘，上
面标好一个点算原点，正上方有个不动的指针指着圆周上的某一点。
然后让圆盘高速旋转，随机地让它停下来，然后测量原点顺时针方向
到现在指针所指的位置的距离，这个距离就是我们随机选取的实数。

　　从上面的讨论我们知道，这个随机选取的实数可以被唯一地写成
c+d的形式，其中c是一个组长，而d是一个有限小数。现在我向你建议
我们打一个这样的赌：如果d是0.7，那么你赢2元，如果d是0.9，那么
你输1元，其他情况我们都不赢不输。

　　这个赌自然对你有利，因为那个d是0.9还是0.7的可能性是一样的，
但是在一种情况下你只输1元，而另一种情况下你赢2元。事实上如果
我们用P(d,d')来表示这样的赌局（这里d和d'是两个不同的有限小数）：
随机选取一个0和1之间的实数x，我们找到它所在的组，组长为c，那
么如果x是c+d，你赢2元，如果x是c+d'，你输1元。上面我建议的赌局
就是P(0.7,0.9)。和上面同样的分析我们知道，无论是什么d和d'，这个
赌局对你来说都是有利的。

　　现在我来建议一个复式赌局，我们来赌所有这样的P(d,d')的赌局，
这里d'是把d的小数部分第一位去掉后的小数。比如说P(0.1234,0.234)，
P(0.98521,0.8521)，P(0.321,0.21)都是这个复式赌局里要考虑的赌局。
因为每个P(d,d')对你都是有利的，你自然会觉得这么一个复式赌局对
你也该有利——可是这完全错了。

　　假设我们随机选取的实数可以写成c+0.321的样子，我们来看看你
到底会赢多少。你唯一赢的那个赌局是P(0.321,0.21)，你赢了2元。可
是你输了P(0.0321,0.321)，所以输了1元，而且不仅如此，你还输了
P(0.1321,0.321)，P(0.2321,0.321)，……P(0.9321,0.321)这些赌局，所以
一共输了10元。总体说来，你输了8元。糟糕的是，无论随机选取的实
数是什么，你都会这么每次输掉8元！

　　这怎么可能呢？每个赌局都对你有利，可是要是同时赌这些赌局，
你却必输无疑！

　　　　二、对Levin悖论的评论，以及对评论的评论

　　在2001年9月号的《为了科学》上Jean-Paul Delahaye提出了三种对
Levin悖论的解释，但是都不很令人满意。

　　首先是使用选择公理可能带来的问题。选择公理是数学家策梅罗
于1904年首先引入的（尽管在此之前它已经无数次地被隐含地使用），
它是说，如果给定一组非空的集合（这组集合中集合的数目可以是任
意多），总能够从每个集合中挑出一个元素来组成一个新的集合，按
上面的说法，就是总能选出一个组长的集合来。很显然，我们上面选
取组长时使用了这个公理。虽然已经证明选择公理和集合论其他公理
是独立的，也就是说如果没有选择公理的集合论里不存在矛盾，那么
加上选择公理（或者选择公理的否命题）的公理系统也不存在矛盾，
但是数理逻辑学家对选择公理仍然心有余悸，因为通过它能推导出一
些奇怪的命题来，其中最著名的就是巴拿赫-塔斯基定理。这个定理的
一个特例说，我们能够把一个球体分割成有限多块，然后重新组织拼
合成两个和原来一模一样的球体。这看起来实在是奇怪，不过要知道
这样的分割后的块是非常特别的，它们甚至不能被定义体积（所谓的
不可测集），所以要通过这样的分割来拼金球发大财是不可能的。

　　但是尽管选择公理会带来这样奇怪的结论，不过它从来没有引起
过真正的自相矛盾。可是上面我们遇见的却是一个真正的矛盾：每局
都有利，一起赌却必定失利。

　　其次是有限情况下的“复式原则”能不能使用到无限的情况下去。
我们只是针对有限情况证明了“复式原则”，但是也许在无限情况下
这个原则出了错。

　　但是在有限情况下我们不仅证明了一组有利的赌局的组合仍旧是
有利的，而且我们还证明了复合赌局的期望就是每一局赌局的期望的
和。在无限情况下形势仍旧相同，如果所有赌局的期望都是正的，那
么复合赌局的期望为什么会是负的？这点不能用有限无限来不明不白
地推托掉，无论如何要搞搞明白。

　　最后，是不是连续型的概率分布出了问题？我们看到这里我们需
要从0到1的实数中随机选取一个实数，为了知道它所属的组的组长，
我们必须知道这个数小数点后所有的位数，这实际上是办不到的。比
方说上面所说的转盘方法，但这需要无限精确地测量指针那一点到原
点的距离，这其实是不可能的。

　　但是在概率统计学家到处在使用这类分布，要是这也有可能带来
错误的话，那整个概率统计学就完蛋了，现在的概率统计学家怎么还
能这么心定气闲地一篇接一篇地写着关于连续型概率分布的论文。数
学毕竟是一门抽象的学科，所以实际办不办得到不能成为拒绝使用连
续型概率分布的理由（你在现实中看见过一条没有宽度的直线，或者
一个无穷集合吗？）。相反地，Levin悖论给我们一个启示，就是把数
学中的知识应用到实际中去时，我们应该保持警惕。

　　　　　　　　　　　三、构造新的悖论

　　很明显，上面的这些解释都只能让我们受惊的心灵得到暂时的安
慰，但是问题仍旧在那里。要么我们把脑袋藏在沙子里，满足于这些
简单肤浅的托词，要么我们必须更仔细地分析问题到底出在了哪里。
为此我们必须简化Levin悖论，把不是引起悖论的根本原因的细枝末节
丢开。

　　选择公理的毛病出在它只告诉在我们那个组长的集合C存在，却不
能具体地构造它。但是这并非由于我们对它的了解不多而造成的，事
实上，由选择公理和集合论其他部分的独立性，数学家可以证明这个
集合C是不可能被具体构造的构造它（也就是具体地描述它，使得有一
种至少理论上的方法使得任给一个具体的实数，我们就可以通过一系
列计算来确定它是否属于C）。

　　但是选择公理在Levin悖论中所起的作用只是伪装性的，《为了科
学》的一位读者Jacques Patarin提出了一个新的类似于Levin悖论的
悖论，它不使用选择公理。

　　Patarin悖论是这样的：对于每个0到1之间的实数x，我们定义赌局
P(x)为：
1. 随机选取一个0到1之间的实数y（每个实数选到的可能性相同，即
　　概率论中的平均分布）；
2. 如果y=3/4x，那么我输1元；
3. 如果y=3/4+x/8或者y=7/8+x/8，那么我赢1元；
4. 如果y是其他数，则不赢不输。

　　对每个x来说赌局P(x)对我都是有利的。和每个赌局有关系的是三
个点：3/4x、3/4+x/8和7/8+x/8，每个点被选中的可能性都一样，但是
其中有两个点我会赢钱，但是只有一个点会让我输钱。

　　但是想像一下如果我们接受对所有的0到1之间的实数x（包括0，不
包括1）的赌局P(x)，会发生什么事。

　　如果随机选取的y>3/4，那么我什么赌局都不会输，因为此时不会
有一个0到1之间的实数x使得y=3/4x，但是我会赢得赌局P(8(y-3/4))和
P(8(y-7/8))。如果随机选取的y<3/4，那么我不可能赢得任何赌局，但
是我会输掉赌局P(4/3y)。问题在于平均四次里只有一次y会大于3/4，让
我赢2元，而会有三次y小于3/4，让我总共输3元。于是平均起来我每四
次平均会输掉1元！

　　Patarin悖论中就完全不牵涉到选择公理了。不过它的其他毛病和
Levin悖论相同，大家仍旧可以说，随机地选取一个0到1之间的数字是
不能实际操作的，或者有限情况得到的结论不能随便使用到无限情况
下去。特别地，它使我们似乎找到了一个新理由：零概率事件。

　　注意到在Levin悖论和Patarin悖论中，每个单独的赌局中有输赢的
事件发生的概率都是0，比如说Patarin悖论中如果我们只赌赌局P(1/2)，
那么在y=3/8时我会输，而在y=13/16或15/16时我会赢。但是这三点被
选到的可能性都是0，所以即使这个赌局实际能进行的话，大家都会不
赢不输。

　　这个解释虽然仍旧让人感到不舒服，但是“一组不赢不输的赌局
合起来会变成会输的赌局”总比“一组会赢的赌局合起来会变成会输
的赌局”听起来另人心安一些。看样子这些悖论的问题出在对零概率
事件的滥用上。

　　但是真的如此吗？　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下期待续